孪生素数有无穷多对的证明.doc

无理数论关于孪生素数有无穷多对的证明论题：有多少对相邻的奇数都是素数，如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，这样相距为2的一对素数，称为孪生素数。孪生素数是否有无穷多对呢？我的结论是孪生素数有无穷多对，并予以证明。一、 假素数(一) 素数有无穷多个用自然数n表示素数从小到大的顺序，用Pn表示这种有顺序的素数，即P1=2， P2=3， P3=5， P4 =7，将不大于素数Pn 的素数组成的集合，记作In ，In =2，3，5，7， Pn 。将不大于Pn 的所有素数之积，记作Tn ,Tn =2357Pn定义一 假素数 ：若某自然数不是任意一个不大于 Pn 的素数的倍数，将此自然数称作 Pn 的假素数。Pn 的假素数记作An现用d表示整倍数的意思。现用Gn表示不大于Pn 的素数，即 In = Gn根据定义，xAn （xN）的充要条件是 x Gn d 因为1不是任何素数的倍数，故它是任何一个素数Pn的假素数。Pn的假素数和素数的区别,Pn 假素数里面不包含不大于 Pn 的素数，却包含了大于 Pn 的素数。在这里引进假素数的概念，研究假素数的性质，以及相互联系，是为了更好的研究素数的性质。(二) 假素数保持定理定义二 保持部：将整个自然数列，以 Tn 为单位长，从小到大逐一划分成无穷多个首尾相连的单元，将这样的单元，称作 Pn 的保持部。（h1）Tn是 Pn 的第h 个保持部的首端，（h12）Tn 是其中点， h Tn 是尾端。定理（一）假素数保持定理：素数 Pn 的假素数，在其任意两个保持部里个数相等且分布一致。所谓分布一致，是指两个保持部里，其假素数一一对应，且每对对应的假素数与其首端的距离相等。换成精确的数学语言，在 Pn 的任意一个保持部里的任意一个假素数，设与其首端的距离为 y (y Tn, 且yN )，即 （h1）Tn yAn ,如果在Pn 的另外任意一个保持部里，与其首端为y 的数,( h1）TnyAn 也成立，则 Pn 的假素数在其任意两个保持部里分布一致。 因为1是人任意素数Pn 是假素数，因为 hTn1 Gnd 故 hTn1 An ,所以，Pn 的任意一个保持部里，至少有一个假素数。证明:在Pn 的任意一个保持部的任意一个假素数（h1）Tn y，即（h1）Tn y An ,那么，（h1）Tn yGnd, 在Pn的另外任意一个保持部里，与其首端的距离为 y的数（h1）Tn y, 现假设（h1）Tn y Gn d,（h1）Tn y （h1）Tn y （hh）Tn Gnd（hh）TnGn,因为 TnGn 是整数，故（h1）Tn yGn d ，与已知（h1）Tn y Gn d相矛盾。 所以（h1）Tn y Gn d，那么（h1）Tn yAn 综上所述，Pn 的假素数在其任意两个保持部里分布一致，显然，个数必定相等。定理得证。 选一自然数m,满足mTn 现将整个自然数列以m为起点，以Tn为单位长，逐一划分成无穷多个首尾相连的单元，将这样的单元，称作Pn 的平移m保持部。定理(二) 假素数平移保持定理：素数Pn 的假素数，在其任意两个平移m保持部里，个数相等，且分布一致。与假素数保持定理同理可证。Pn的一个保持部里的假素数个数，记作En 二、 筛数及筛数定理 定义三 筛数：若某自然数是Pn 的假素数，而不是Pn1 假素数，将此数称作Pn 的筛数，记作Bn 由定义可得， xBn ，（xN）的充要条件是xAn ,但xAn1 （注：是不属于符号）由xAn 可得x Gn d由xAn1 可得x Gn1 d又因为In1 Pn1 In 故 x Gn d，且xPn1d那么，xBn 的充要条件是x Gn d，且xPn1d定理（三） 筛数定理：素数Pn的任意一个筛数除以Pn1所得到的商是Pn的假素数；Pn的任意一个假素数乘以Pn1所得到的积是Pn的筛数。此定理的数学表达式:(1) An Pn1Bn ；（2）BnPn1An 证明之前，先研究假素数的性质。假素数的积性质 Pn的假素数乘以大于Pn的任意一个素数或者它们中数个之积所得到的积仍是Pn的假素数。大于Pn 的素数或者它们中数个之积所组成的集合记作Cn 其数学表达式为若xCn ，那么xAnAn 证明：因xCn ，故x的质因子中不包含不大于Pn的素数，又因An Gn d，故x An Gn d那么xAnAn 假素数的商性质 Pn的假素数除以一个整数所得到的商，若仍是整数，那么这个商是Pn的假素数。其数学表达式若xN，且AnxN,那么AnxAn 证明：由An Gn d，xN可得Anx Gn d又因AnxN，故AnxAn 筛数定理的证明:(1) 因Pn1Cn ，根据假素数的积性质，AnPn1An 故AnPn1Bn （2）因BnPn1d，故BnPn1N,又因BnAn ，根据假素数的商性质，BnPn1An 筛数定理得证。由筛数定理可得Pn的一个保持部里Pn的假素数与Pn1的一个保持部里Pn的筛数一一对应。根据筛数定理，引入假素数保持定理，可得定理（四）筛数保持定理:素数Pn的筛数在Pn1的任意两个保持部里分布一致且个数相等。素数Pn1的一个保持部里Pn的筛数个数设为Fn ,根据筛数定理可得: FnEn在这里引进筛数，是为了相邻的两个素数，其各自的假素数相互联系，从而通过这种相互联系与递推来研究素数的性质。定理（五）假素数相邻定理： Pn1的假素数并上Pn的筛数为Pn的假素数。数学表达式：An1 Bn An 证明：相对于素数Pn，整个自然数集合可以分成以下三个部分：一，Pn的假素数；二，不大于Pn的素数;三，不大于Pn的素数非本身以外的倍数。相对于素数Pn1，整个自然数集合可以分成以下四个部分：一，Pn1的假素数；二，不大于Pn的素数；三，不大于Pn的素数非本身以外的倍数；四：Pn1的筛数。两者相减可得An1 Bn An 故定理得证。 三、 假平距及素数突破定理定义四 假平距：素数Pn的相邻假素数的平均距离叫作该素数的假平距，记作Ln根据假素数保持定理可得，素数Pn的假平距等于它的一个保持部内其相邻假素数之间的平均距离。那么，LnTn En定理(六) 假平距定理：L12,大于2的素数的假平距是前一素数的假平距与该素数之积除以该素数与1之差所得到的商。数学表达式：L12，Ln1LnPn1（Pn11）证明：P12，L1T1E 1 212因En1 Pn1EnFn，又因Fn En，故En1（Pn11）En ，故Ln1Tn1 En1Pn1Tn（Pn11）EnLnPn1（Pn11），得证。推论：素数Pn的假平距等于不大于Pn的所有素数之积，除以这些素数分别与1的差之积，所得到的商。数学表达式: Ln2(21) 3（31）5（51）7（71）Pn（Pn1）证明：用数学归纳法证明当n1时，L1T1E 1 2（21）2，该式成立；当nm(mN)时, 假设LmLm2(21) 3（31）551）7（71）Pm（Pm1）成立；当nm1时， Lm1LmPm1（Pm11）2(21) 3（31）5（51）7（71）Pm（Pm1）Pm1（Pm11），该式也成立。推论得证。定理（七） 假平距增大定理：随着素数不断增大，其假平距也不断增大，直至无穷大，同时其假平距的增大幅度不断减少。LnLn1Ln这个定理分三个论断：（1）Ln1 Ln（2）lim nLn（3）Ln1Ln 论断（1）的证明：因Pn1Pn11，故Ln1Ln Pn1（Pn11） Ln 论断（2）的证明： 1（12）2（12）3（12）m2（21）； 1（13）2（13）3（13）m3（31）； 1（15）2（15）3（15）m5（51）；1（17）2（17）3（17）m7（71）； 1（1Pn）2（1Pn）3（1Pn）mPn（Pn1）； 将上述等式两边分别相乘 右边lim nLn 根据算术基本定理：任意自然数m都可以分解成素数幂的乘积。左边1121314151m=右边左边故lim nLn论断（3）的证明 因Ln1Ln(Ln2Ln1)(Ln1Ln)Pn1(Pn11) LnPn2(Pn2 1) 1 LnPn1(Pn11) 1 Ln(Pn21)(Pn11) (Pn11Pn2)因Pn11Pn20故Ln1Ln0 因此Ln1Ln 该定理得证四、 级假素数定义五 级假素数：xAn ，若xhTn1z（0z Tn）,那么，将x称作Pn的z级假素数，记作z AnxzAn 的充要条件xAn ，且xhTn1z（0z Tn）定理(六) 级假素数定理：连续Pn1个z An中，有且仅有一个不是Pn1的假素数。证明：连续Pn1个z An，分别为hTnz,（h1）Tnz,（h2）Tnz,，（hPn11）Tnz设hTnzr1 modPn1（h1）TnzhTnzTn，因为（Pn1，Tn）1,所以（h1）Tnz与hTnz以modPn1不同余，（h2）TnzhTnz2Tn，因为（Pn1，2Tn）1,所以（h2）Tnz与hTnz以modPn1不同余，（h3）TnzhTnz3Tn，因为（Pn1，3Tn）1,所以（h3）Tnz与hTnz以modPn1不同余， 同理，hTnz与其余（Pn14）个modPn1不同余；设（h1）Tnzr2modPn1同理可得，（h1）Tnz与其余（Pn11）个modPn1不同余；设（h2）Tnzr3modPn1同理可得，（h2）Tnz与其余（Pn11）个modPn1不同余；设（hPn11）TnzrmmodPn1(注：rm的下标mPn1)同理可得，（h Pn11）Tnz与其余（Pn11）个modPn1不同余；综上所述，连续Pn1个z An以modPn1相互不同余，即r1 r2 r3r4rmPn1因r是自然数或零，有Pn1个不相等的r,且均少于Pn1，故有且仅有一个r为零，即连续Pn1个z An中， 有且仅有一个是Pn1的倍数，也就是说，有且仅有一个不是Pn1的假素数。故定理得证。五、 合及衍生等价定理定义六 假素距：某一素数的某两个相邻假素数，从自然数中，抽象出来，不计其假素数的值，即不计在自然数列中的位置，只计它们之间相距的距离，将这两点以及相距的距离所组成的组合，称作假素距。相距的距离称作距长，两点分别称作前后距脚。若一个素数的两个假素距的各自前距脚离所在保持部的首端距离相等，我们这两个假素距称作同种假素距。定义七 合 ：某一个素数Pn的n相邻相交假素距所组成的组合，称作合。 该合最大素数与最小素数之差，叫作合长，记作j,合中的假素数个数记作k 。定义八 同类等价合：若某一素数Pn的两个合，其中一个合的所有假素距与另一个合的所有假素距，一一对应，大小相等，排列一致，将这两个合称作同类等价合。定义九 衍生等价合：某一素数Pn的一个合，与另一素数Pm的一个合（PnPm）,在自然数列上重合，将素数Pm的这个合称作素数Pn的那个合的衍生等价合。不等式（一）Pn1En (n3)证明：用数学归纳法证明当n1时，Pn1P23, E11当n2时，P35，E22当n3时，P47，E38，该式成立；当nm时（m3），假设Pm1Em 成立；当nm1时，Em1Em(Pm11)因Pm1Em ，又因 Pm11 2 故Em1Em(Pm11)2 Pm1根据车比雪夫定理Pn12Pn那么，Em1Em(Pm11)2 Pm1Pm2该式也成立，故此不等式成立。定理（八） 等价衍生定理：素数Pn的一个合，若kPn1,那么，在素数Pn1的合中，一定存在着这个合的同类等价合的衍生等价合，且为无穷多个(n3)。证明：Pn的一个合，若kEn ,那么,jTn 因已知kPn1 (n3) 又因Pn1En故kEn 那么，jTn所以这个合分布在Pn的一个保持部里或相邻的两个保持部里。第一种情况，这个合分布在一个保持部内，Pn 的一个保持部内存在着某个合，根据假素数保持定理，Pn 的另外任意一个Pn 的保持部里至少存在一个同类等价合，那么，连续Pn1个保持部内至少存在有Pn1个同类等价合。若将这种同类等价合的假素数分别记为:z1 An z2 An z3 An zm An (注：mPn1)根据级假素数定理连续Pn1个z1 An 中，有且仅有一个不是Pn1的假素数；连续Pn1个z2 An 中，有且仅有一个不是Pn1的假素数；连续Pn1个z3An 中，有且仅有一个不是Pn1的假素数；连续Pn1个zmAn 中，有且仅有一个不是Pn1的假素数；连续Pn1个Pn 的保持部内，在Pn1个这种同类等价合中，有且仅有k个An被筛去，就最多有k个同类等价合遭到破坏，那么，至少有(Pn1k)个这种同类等价合未遭到破坏，均成为这种同类等价合的衍生等价合。另，根据假素数保持定理，在Pn1的合中这种同类等价合的衍生等价合有无穷多个。第一种情况得证。第二种情况，Pn 的这个合存在于Pn 的相邻的保持部内。因jTn , Pn 的这个合存在于Pn 的平移m保持部内（这个m的取值要相对于这个合来选定），根据假素数平移保持定理，Pn 的另外任意一个平移m保持部内至少存在着一个这个合的同类等价合，连续Pn1个Pn 的平移保持部内，至少存在着Pn1个同类等价合。若将这种同类等价合的假素数，分别记作：z1 An z2 An z3 An zm An (注：mPn1)同理可证，在素数Pn1的合中，一定存在着这个合的同类等价合的衍生等价合，并且为无穷多个。定理得证。推论：相对于Pn 的一个合，若kPn1成立，那么，素数Pnm ,m由1增大至无穷大的过程中，这个合的同类等价合的衍生等价合永远都存在，并且都为无穷多个。(n3)证明:用数学归纳法证明，当m1时，根据等价衍生定理，素数Pn1的合中，有无穷多个这个合的同类等价合的衍生等价合；当mm0时，假设素数Px(Px下标xnm0)的合中素数Px(Px下标xnm0)的合中，有无穷多个这个合的同类等价合的衍生等价合；当mm01时，因素数Px 的合中，有无穷多个这个合的同类等价合的衍生等价合；又因kPn1Pm1 ,根据衍生等价定理，素数Px1 的合中，有无穷多个这个合的同类等价合的衍生等价合。该结论也成立。推论得证。六、 孪生假素数定义十 孪生假素数：在素数Pn 的假素数中，相距为2的一对假素数，称为孪生假素数。孪生假素数即为素