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文档简介
证明三角形三条高交于一点 资料证法一:运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知:ABC的两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P。求证:P、Q、O三点重合证明:如图,BEAC,CFABAEB = AFC = 90又BAE = CAFABE ACF,即ABAF = ACAE又ADBCAEQ ADC,AFP ADB,即ACAE = ADAQ,ABAF = ADAPABAF = ACAE,ACAE = ADAQ,ABAF = ADAPADAQ = ADAPAQ = AP点Q、P都在线段AD上点Q、P重合AD与BE、AD与CF交于同一点两条不平行的直线只有一个交点BE与CF也交于此点点Q、P、O重合。证法二:连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边,运用四点共圆性质。已知:ABC的两条高AD、BE相交于点O,第三条高CF交高AB于点F,连结CO交AB于点F。求证:CFAB。证明:ADBC于E,BEAC于EA、B、D、E四点共圆1ABE同理212ABEABE+BAC90,2+BAC90即CFAB。证法三:证明两条高的交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。证明:如图6,以直线BC为x轴,高AD为y轴,建立直角坐标系,设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件xCDOyABFE则三条高的直线方程分别为:解(2)和(3)得 这说明BE和CF得交点在AD上,所以三角形的三条高相交于一点。证法四:转化为证明另一个三角形的三条中垂线(或中线)交于一点。已知:AD、BE、CF是ABC的三条高。求证:AD、BE、CF相交于一点。证明:过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL AMBC,MBAC 四边形AMBC是平行四边形 AMBC 同理,ALBC AMAL ADMLAD是ML的垂直平分线同理,BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点 AD、BE、CF相交于一点。证法五:运用锡瓦(Ceva)定理证明。已知:AD、BE、CF是ABC的三条高。求证:AD、BE、CF相交于一点。证明:如图,ADBC于E,BEAC于E ABD CBF (1)同理
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