证明几何不等式证法举例.doc

证明几何不等式证法举例四川省广元市宝轮中学 唐明友几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。一.中线加倍法例1.如图，AD是ABC中BC边上的中线，求证：AD证明：延长AD至E，使DE=DA，连接CEDA=DE,DC=DB,1=2，ABDECD，AB=EC在ACE中AECE+AC,即2ADAB+AC，AD评注：注意到结论可变形为2ADAB+AC，考虑将2AD、AB、AC转化到一个三角形中，从而想到用中线加倍法作辅助线解决。二.三角形中位线搭桥例2.在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：EF证明：取AB中点G，连接GE、GFE、G分别是AD、AB的中点，GE是ABD的中位线，即GE=BD，同理GF=AC。在GEF中，EFGE+GFEFBD+AC, EFAD+BC证明：分别取AB、CD的中点E、F，连接OE、OF、EFACBD，点E、F分别是AB、CD的中点OE、OF分别是RtABO、RtCDO斜边上的中线，即OE=AB,OF=CD,又EF是梯形ABCD的中位线，可得EF=在OEF中，OE+OFEF，即AB+CDAB+CDAD+BC评注：由结论的右边AD+BC可联想到梯形的中位线，确定取AB、CD的中点E、F,再由ACBD可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。四.平移法例4.如图，在ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，BE=CF，求证：EFBC证明：平移EB至FD，连接BD，过F作FG平分DFC交BC于G,连接DG。由平移的性质得EF=BD，BE=DFBE=CF，DF=CF,又1=2，FG=FG，DFGCFG，DG=CG在DBG中，BDBG+DG，即BDBG+GC=BCEFAC,ADBC于D,P为AD上任意一点，求证：PB-PCAB-AC证明：将ADC翻折180至ADF，连接PF，因ADBC，由轴对称的性质得AF=AC,PF=PC,在ABE中，AE+BEAB 在EFP中，EP+EFPF +得：AE+BE+EP+EFAB+PF，即AF+PBAB+PF，AC+PBAB+PC因此PB-PCAB-AC 评注：通过翻折变换把AC、PC转化到AF和PF，然后将AB、BP分别放到如图中两个阴影三角形中，再运用三角形边的性质变形而证明结论六.旋转法例6.在ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且APBAPC,求证：PCPB证明：以A为中心，把APB逆时针旋转BAC的角度，变成APC，连接PP,由旋转地性质可得APBAPCAPB=APC，PB=PC,AP=AP，1=2APBAPC，即2+41+3，43在CPP中可得PCPC，PCPB 评注：旋转APB到APC，利用旋转的性质和等腰三角形性质构造出CPP，再根据“大角对打边”证明本题，其思路清晰明了。七.截补法例7.在ABC中，ABAC,D是BAC的角平分线上任意一点，求证AB-ACDB-DC证明：在AB上截取AE=AC，连接DEAD平分BAC，1=2，又AE=AC,AD=AD，AEDACD，DE=DC在BDE中BEBD-DE,而BE=AB-AE=AB-ACAB-ACDB-DC 评注：观察结论左边AB-AC，且有1=2，便可采用截长补短得到这个差BE，再根据全等三角形的性质进行转化，从而构造出BDE，运用三角形边的性质得证。八.面积法例8.如图，G为ABC的重心，EF过点G且与AB、AC分别交于E、F,求证：EG2GF证明：连接AG,再连接BG并延长交AC于D。G是重心，BG=2GD=2EG2GF评注：注意BG=2GD是三角形重心的性质。本题在运用面积法解题时，用到了同高不同底的三角形面积比的性质和分子增大分母缩小的放缩法，最后运用三角形重心的性质顺利获得解决。九.利用平行线例9.已知:P是边长为1的正三角形ABC内任意一点，设m=PA+PB+PC，求证：mAB=1,同理PB+PC1,PC+PA12(PA+PB+PC)3,即m 过P作DEBC分别交AB、AC于D、E,则ADE也是正三角形，AD=DE=AE，又12，2=3，得13，故ADPA在PBD、PCE中，BD+PDPB, PE+CEPCBD+PD+PE+CEPB+PC,继而AD+BD+PD+PE+CEPA+PB+PCAB+ACm,亦即m2 由、得：m2评注：本题较难，特别是第二步需要作平行线，将原正三角形分割出小正三角形，再运用有关性质转化，望认真体会。十.反证法例10.如图，在凸四边形ABCD中，已知AB+BDAC+CD,求证：AB1A