证明过程中如何使用反证法.doc

证明过程中如何应用反证法 白鹤滩中学 徐仲平摘要：反证法是一种常见的数学证题方法。文章开头就反证法的实质及一般步骤进行了论述；然后举例分析反证法证明适用的若干类型命题；最后就反证法证题时应该注意的问题提出一些自己的见解。关键词：反证法 命题 唯一性。在证题过程中对于某些命题，直接从原题入手求证较为困难，有的在特定场合甚至找不到证明的依据，这时可假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，结果也能间接达到目的，这就是常说的反证法。 一、反证法的实质及证题的一般步骤命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。由于任何命题总与他的逆否命题等价，而反证法是一种间接证法，故它的实质就是证明命题的逆否命题成立。即：反证法不直接证明论题“若A则B”,而是证明它的反论题“既A又”是假的，再根据排中律，肯定“若A则B”是真的。应用反证法证明数学命题时一般分为以下几个步骤：1、分清命题“若A则B”的题设与结论；2、作出与命题结论B相矛盾的假定；3、由A与出发，应用正确的推理论证方法，得出矛盾结果；4、分析断定产生矛盾结果的原因，是在于开始所作的假定不正确，于是原结论B成立，这就间接的证明了原命题。一般在证题中，要注意推理的严密性，必须步步有据，并且一定要真正理解矛盾在哪里。二、适用于反证法证明的几种类型的命题目前中学数学课本中的题型几乎被计算题、应用题、证明题“垄断”，但初中数学证明题用反证法证明的不多见。可是用反证法证题又是中学生需掌握的类容之一，它不仅可以培养学生的数学解题思维能力，还能训练学生的解题技巧。教师在讲授用反证法证题时，需注意题目的分析、判断。有些证明题目在证题时若从命题的正面入手，较难达到目的，但该命题有确定的反面，同时这些反面判断又易于被驳倒，就可以采用反证法证明，一般来讲在中学数学命题的证明过程中若遇到下面几种情况，就可以考虑使用反证法证明。1、某些起始命题按照公理化方法最初建立的仅是数量不多的定义和公理。因此某些起始的性质或定理，常常难以找到直接证明的依据，这时可以用反证法试一试。例1、两条直线相交，只有一个交点。已知：a、b为相交的两条直线。求证：a、b只有一个交点。证明:假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为E与F,那么，直线a通过E,F两点，直线b也通过E、F两点，也就是说，过E与F两点，可以作两条直线a与b，这和公理“经过两点可以作一条直线，而且只可以作一条直线”相矛盾。产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一个交点，假定既然不成立，则原题结论必然成立。例2、（如图所示）已知直线L是O的切线，切点为A。 求证：OA与直线L垂直。证明：假设OA与L不垂直，过点O作OML垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OMOA,这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是O的切线相矛盾。因此，OA与直线L垂直。例3、在同一平面内一直线的垂线与斜线必相交，已知 L,L1,L2是同一平面内的三条直线，L2是L的垂线，L1是L的斜线（如图所示）。求证： L1与L2必相交。证明：假设L1与L2不相交，则L1L2，设L1,L2与L相交所得的一对同位角为和，则=。因为L1是L的斜线，所以900，从而900，这就是说L2与 L的交角不是直角，这与垂直的定义相矛盾。由此矛盾结果可以断定假设不成立，所以L1与L2必相交。2、否定性命题结论以否定形式出现的命题，直接证明方法一般不易入手，而用反证法有希望成功。例4：AB,CD为O的任意两弦且相交于点P. 求证：AB与CD不可能互相平分 证明：假定AB与CD平分于点P，连接圆心O与点P.则根据“垂径定理” 的推论有OPAB.OPCD.于是有“过点P有两条直线AB，CD同时垂直于OP.这与垂线的性质相矛盾。所以假设弦AB与CD相交于点P,并被点P平分不可能成立。即AB与CD不可能互相平分。例5、（如图所示）已知A、B、C三点在同一直线L上，L1垂直平分AB， L2垂直平分BC . 求证：A、B、C三点不在同一个圆上 证明：假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O.那么点O既在线段AB的垂直平分线L1上，又在线段BC的垂直平分线L2上，即点O为L1与L2交点，而L1L,L2L,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。因此,过同一直线上的三点不可能作圆,故A、B、C三点不在同一个圆上。例6、试证素数取不到最大。证明：假定素数有最大的，设这个素数为p，那么p+1被p以及小于p的任何一个素数去除，总要余1.因此，或者p+1本身是素数，或者它能被大于p的素数整除，这个结论与最初假定p是最大素数相矛盾，所以素数没有最大值。3、唯一性命题结论以“只有一个”，“唯一存在”等形式出现的命题，用反证法证明其唯一性，常能得到简洁清楚的证明方法。例7、已知方程x=qsinx+a (0q1,a是实数）的实根存在。 求证：其实根唯一。分析：要证实根唯一，也就是要证除开某个实数以外，其余任何实数都不是所给方程的根，用直接证法简直无从下手。故考虑用反证法。证明：若其实根不唯一，则至少有两相异实根x1与x2 由x1= qsinx1+a x2= qsinx2+a -得： 所以有x1-x2qx1-x2 这与0q1矛盾。因此原命题成立。4、结论以“至多”或“至少”的形式出现的命题。例8、试证一元二次方程至多有两个不同的实根。证明：假设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个以上的实数根，且各不相等。令x1、x2、x3为方程的三个相异实根,则： ax21+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0 ax23+bx3+c=0 由 - 得：a(x21-x22)+b(x1-x2)=0 x1x2a(x1+x2)+b=0 由 - 得：a(x21-x23)+ b(x1-x3)=0 x1 x3 a(x1+x3)+b=0 由 - 得：a(x2-x3)=0 a0 x3=x2这与x1、x2、x3各不相等矛盾。故原命题成立。例9、若a、b、c为自然数，且a2+b2=c2,则a、b中至少有一个为偶数。证明：假定a、b均为奇数，令a=2m+1,b=2n+1，则c2= a2+b2=4(m2+n2+m+n)+2 由此可知：C2为偶数，C为偶数，令c=2k 则c2=4k2，即c2是4的倍数，因此式自相矛盾。故a、b中至少有一个为偶数。以上四类命题，用反证法证明一般都能收到良好的效果，此外，有关无限多的命题，还有其他一些用直接证明不方便的命题等，均可用反证法一试。例10：若0a 1,b0,b=logab,求证：a=b 分析：此处条件仅能得出ab=ba,直接证明a=b较困难，因而考虑用反证法。 证明：设ab,则ab或ab(1)若ab,则0b a1,由于y=logax为减函数，logablogaa=1故 a logaba 由此得出：aabb 这与b=aab矛盾 ，故ab不能成立。（2）若ab.则由0a1知：y=ax是减函数故aaab 即1ab 因而aaabbaab这与b= aab矛盾 故ab不能成立。由（1），(2)知a=b三、运用反证法推理过程中推出矛盾的主要类型由于反证法推理出矛盾的类型很多，出现矛盾的情况又较为复杂。因此在进行“归谬”时，往往陷入困境，甚至对自己的正确推理存在疑惑。下面就这个问题归纳出几种反证法推出矛盾的几种类型。（1）推出结果与已知公理矛盾；（如例1）（2）推出结果与已知定理矛盾；（如例2、例4、例5）（3）推出结果与所作假定矛盾；（如例6、例8）（4）推出结果与已知定义矛盾；（如例3）（5）推出两个相互矛盾的结果；（如例9）（6）推出结果与已知条件矛盾；（如例10）由上面所例举的例子中，例1-例9与原题相矛盾的反面只有一种情况，只要把这几种情况予以否定，原题即被证明；而例10与原题结论相矛盾的方面不止一种情况，需要把它们一一予以否定，命题才能得证。通常，把前一种方法叫做（简单）“归谬法”，后一种方法叫做“穷举归谬”法。四、应用反证法证题时应该注意的问题（1）、由于要假设待证命题的结论不成立，必须考虑结论反面的所有可能情况，如果只有一种，那么否定这一种就可以了；若与原命题相矛盾的方面有多种情况，必须一一予以否定，切记不能有所遗漏，否则，原题仍难以得证。（2）、推理过程必须完全正确，否则，即使推出矛盾结果，也不足以证明所作假定“”是错误的。（3）、在推理过程中，一定要使用已知条件，否则要么推不出矛盾结果，要么不能断定所推出的结果是错误的。如果教师在数学教学中注意培养学生解决了一类新问题过程中所获得的创造性活动经验，迁移到了另一类数学问题中去，学生的创造性活动经验得到充实，且不断地又获得新的创造性活动经验，那么创造性活动经验的概括就表现为创造力。显而易见，创造能力提高了，有利于解决问题，反之解决问题又不断地充实着创造性活动