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初三数学（VIP） 第一章 陈老师第一章 证明（二） 第一讲一、知识点回顾1.1 你能证明他们吗？1.2 直角三角形1.3 线段的垂直平分线1.4 角平分线知识点1. 全等三角形的判定和性质在证明两个三角形全等时，一般应用四条公理及推论：SSS，SAS，ASA，AAS（SSA和AAA不能判定，右图举例）；全等的对应边、对应角相等。知识点2. 等腰的性质及判定（1）性质定理：等腰的两个底角相等。（2）推论：等腰的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即“三线合一”。（ 等腰的是对称轴图形）知识点3. 等腰的判定等腰的判定定理：有两个角相等的，是等腰。（等角对等边）推理格式：C=B AB=AC知识点4. 等边的判定定理性质：等边的三边相等，三角相等。也具有“三线合一”的性质。判定：有一个角是60的等腰，是等边。知识点5. 反证法 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。（一定、至少、至多、唯一）知识点6. 直角中，30锐角所对的直角边与斜边的关系在RtABC中，C=90，A=30，BC=AB二、课堂讲解（一）专题讲解1. 如图1-1-10，C为BE上一点，点A、D分别在BE的两侧，且BC=DE，ABED，AB=CE，求证AC=CD。2. 在某市的“红顶工程”中，某建筑设计院设计了一度假别墅，已知房顶的顶部是一个等腰，其顶角BAC=120，过屋顶A的立柱作ADBC，求顶架BAD的度数。3. 如图1-1-16，ABC是等边，D为BC的延长线上的一点，CE平分ACD，CE=BD。求证：ADE是等边。4. 求证：在一个中，不能有两个钝角。5. 第十三届奥运会于2012年在英国伦敦举行，为迎接这一盛事，当地某宾馆要求个各楼梯铺设红色地毯，从侧面看楼梯如图1-1-17，其中AB=4m，BAC=30，C=90，则在AB段楼梯所铺地毯的长度为 。（二）变式练习1. （巴彦淖尔中考，12题）如图1-1-39，AD是ABC的中线，ADC=60，BC=6，把ABC沿AD对叠，点C落在C处，连接BC，那么BC的长为 。 2. （株洲中考，20题）如图1-1-36，在ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC。（1）求ECD的度数。（2）若CE=5，求BC的长。三、巩固练习（一）填空1. 在证明两个三角形全等时，一般应用四条公理及推论： 。2. 等腰的 相互重合，即“三线合一”。（二）选择1. （十堰中考，6题）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图1-1-31，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC。由做法得MOCNOC的依据是（ ）。A. AAS B. SAS C. ASA D. SSS 2. （凉山州中考，8题）如图1-1-34，在ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，则DE等于（ ）。A. B. C. D. 四、中考典例（一）作平行线利用三角形全等证明线段相等如图1-1-19，在ABC中，AB=AC，D，E分别是AB及AC延长线上的点。连接DE交BC于点F，若F是DE的中点。求证：BD=CE。（二）线段的和差倍分问题如图1-1-20，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 （三）航海问题1. 如图1-1-21，一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖厂。渔船沿北偏东30方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？2. （衢州中考，13题）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C（如图1-1-37）。那么，由此可知，B，C两地相距 。 五、反思总结全等证明，等腰，航海问题。第一章 证明（二） 第二讲一、知识点回顾1.1 你能证明他们吗？1.2 直角三角形1.3 线段的垂直平分线1.4 角平分线知识点1. 勾股定理直角两条直角边的平方和等于斜边的平方，即在RTABC中，若C=90，则AC+BC=AB。知识点2. 勾股定理的逆定理如果两边的平方和等于第三边的平方和，那么这个是直角，即在Rt中，若AC+BC=AB，则C=90。知识点3. 互逆命题、互逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么他也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。定理一定有逆命题，不一定有逆定理。知识点4. “斜边、直角边”定理（HL定理）斜边和一条直角边相等的两个直角全等。用符号表示为：如图1-2-1AB=AB，BC=BC，RtABCRtABC二、课堂讲解（一）专题讲解1. 如图1-2-5，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的点B取ABD=120，BD=210m，D=30，要正好能使A，C，E成一条直线，那么E，D两点之间的距离为多少呢？ 2. 如图1-2-6，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上的一点，且EC=BC。求证：EFA=90。3. 写出下列命题的逆命题后，判断原命题与逆命题是否成立，并指出其中的互逆定理。（1）对顶角相等； （2）三边对应相等的两个三角形全等；（3）两条直线平行，同位角相等； （4）如果a=b，则a=b。4. 如图1-2-9，AD为ABC的边BC上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且BF=AC，FD=CD。求证：BEAC。 （二）变式练习（反复）1. 如图1-2-16，已知ACB=ADB=90，AC=AD，E是AB上任意一点。求证：CE=DE。2. （德州中考，13题）下列命题中，其逆命题成立的是 （只填序号）。同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个是直角三角形。三、巩固练习1. a，b，c是直角三角形的三边，则以，为三边可以构造成（ ）。A锐角 B.直角 C.钝角 D.无法判断2. 在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+b）（a-b）=c，则（ ）。A. A为直角 B. C为直角 C. C为直角 D.不是直角四、中考典例1. 如图1-2-13，在梯形ABCD中，ABDC，ADC+BCD=90，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边的梯形外作正方形，其面积分别为，则，之间的关系是 。2. 某供电部门准备在输电主线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电。已知居民小区A，B分别到主干线L的距离=2km，=1km，且=4km。（1）如果居民小区A，B在主干线L的两旁，如图1-2-15（1），那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少？（2）如果居民小区A，B在主干线L的同旁，如图1-2-15（2），那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与的距离是多少？五、反思总结引导学生，总结每道题的做题思路。第一章 证明（二） 第三讲一、知识点回顾1.1 你能证明他们吗？1.2 直角三角形1.3 线段的垂直平分线1.4 角平分线知识点1. 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等。用符号语言叙述为：如图1-3-2，MNAB，AC=BC，PA=PB。知识点2. 线段垂直平分线的判定定理到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。用符号语言叙述为：如图1-3-2，PA=PB，点P心思线段AB的垂直平分线上。知识点3. 用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB。求作：线段AB的垂直平分线。作法：分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D，再过C，D两点作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线（如图1-3-4）。知识点4. 三角形三边垂直平分线交点的位置分布的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。外心：的三边的垂直平分线相交于一点，或者外接圆的圆心。内心：的角平分线的交点，或者内切圆的圆心。垂心：三边高的交点。重心：三边中线的交点。 （锐角的外心在内部，钝角的外心在外部，直角的外心在斜边的中点。）二、课堂讲解1. 如图1-3-14，在ABC中，ACB=90，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F。求证：点E也在AF的垂直平分线上。2. 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村，B村，C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如图1-3-29），请你用尺规作图的方法确定点P的位置。要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹。 三、巩固练习1. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50，则B= 。2. A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图1-3-28的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2,2），点B的坐标是（7,3）。（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该店，保留作图痕迹，不求该点坐标。（2）若在公路建一游乐园P，使游乐园到两校之间距离之和最小，通过作图，在图中找出建游乐园的位置，并求出他的坐标。四、拓展训练1. 如图1-3-21，在ABC中，B=2C，ADBC于点D。求证：CD=AB+BD。五、反思总结截长补短法的应用。第一章 证明（二） 第四讲一、知识点回顾1.1 你能证明他们吗？1.2 直角三角形1.3 线段的垂直平分线1.4 角平分线知识点1. 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图1-4-1，P为AOB的平分线上的一点，PEOB于点E，PFOA于点F，PE=PF知识点2. 角平分线的性质定理的逆定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。知识点3. 用尺规作角的平分线已知：AOB。 求作：射线C，使AOC=BOC。作法：在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C；作射线OC，则OC即为AOB的平分线，如图1-4-4。知识点4. 三角形三个内角的平分线的性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等（内心）。二、课堂讲解1. 如图1-4-15，在ABC中，C=90，BAC和ABC的平分线相交于点，且PEAB于点。