万有引力计算公式证明.doc

球体间万有引力计算的探究 南京市第12中学 杨伟 高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。”这种表达是很不严密的。因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：“两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。”（其中加下划线的三个“间”是本人加上去的）牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。命题1。 质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。设环质量为m1 ,质点质量为m2 ,环半径为r ,环中心到质点的距离为x ,把环分成许多小段,任取一小段可视为质点,其质量为dm ,它对质点的引力为dF ,再把其分解为沿轴和垂直于轴的两个分量dF1和dF2 ,由于质量分布均匀,由对称性可知环上所有dm对质点引力的dF2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为: F= ,而dF1=dFcos= .所以 .命题2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.设圆面质量为M1 ,质点质量为m2 ,圆面半径为R,圆心到质点的距离为x , 在圆面内任取一半径为r宽为dr的同心圆环,则由命题1得此圆环对质点m2的引力为则正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力. 设球的质量为M,质点的质量为m, 球心到质点的距离为L,球半径为r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取一半径为R厚度为dx并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点m的距离为x. 则由命题2可得该圆片对质点的引力为:为了计算 所以 这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否恰当，请专家指点。 电场强度： 。 万有引力场强度： 。电通量： 万有引力通量： .高斯定律： （q为闭合面内的总电量）应用高斯定律，计算均匀带电球体在其外任一点p的电场强度。设球半径为R,带电量为Q,球心到p点的距离为r. 过p点作与带电球同心的球面S,因为电荷分布均匀由对称性可知S面上各点的场强大小相等设为E，方向沿径向，通过S的电通量为：由高斯定律得：由于数学表达式完全对称，因此，同理可得，质量分布均匀的球体在其外任一点的万有引力场强度为 ： 。M为球的质量, r为球心到所取点的距离.因为 所以 。 又因为质点的引入不会影响球体的质量分布，故在所取点上放入一质量为m的质点时，球对该质点的万有引力为： （其中的为沿球心和质点的连线向内的单位矢量）。这也证明了：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其