选修12第2章推理与证明.doc

第2章 推理与证明一、本章知识结构二、内容安排本章包括3节，约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：2 1 合情推理与演绎推理 约3课时2 2 直接证明与间接证明 约2课时2 3 数学归纳法 约2课时章节复习小结 约1课时三、重点知识梳理1归纳推理与类比推理的区别与联系（1）联系：归纳推理与类比推理都是合情推理，且归纳推理与类比推理得出的结论都不一定可靠（2）区别：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的一种推理，它是由特殊到一般、由部分到整体的推理而类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理例如，已知甲、乙两类对象都具有性质，且甲还具有性质d，可以猜想乙也具有性质d，这种推理就是类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理2合情推理与演绎推理的区别与联系（1）区别：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理常用的合情推理有归纳推理和类比推理，由合情推理得到的结论都仅仅是猜想，未必可靠演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理是由一般到特殊的推理由演绎推理得出的结论都是可靠的在数学中，证明命题的正确性，都要用演绎推理演绎推理的一般模式是三段论（2）联系：合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用在数学结论及其证明思路的发现中，主要依靠合情推理而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理因此在数学学科的发展中，这两种推理都是不可缺少的3综合法与分析法的区别综合法与分析法是证明命题的两种最基本最常用的方法，用这两种方法证明命题的思路截然相反综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证（即演绎推理），最后推导出所要证明的结论成立而分析法则是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件综合法“由因导果”，而分析法是“执果索因”在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用4反证法证题的一般步骤（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面正确；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确5如何正确选择综合法、分析法、反证法（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰（4）注意分析法的表述方法：“要证明，只需证明，因为成立，所以成立”，“为了证明，只需证明，即，因此只需证明”（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”（6）利用反证法证题时注意：必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法一、复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.五、数学运用解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90-小前提所以ABD是直角三角形结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线,小前提 所以 DM= AB结论 同理 EM= AB所以 DM=EM.第4课时 2.2.1综合法与分析法教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。教学过程:一、学生探究过程：证明的方法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 例1设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2ab成立。(a+b0) 只需证a2-2ab+b20成立， 即需证(a-b)20成立。 而由已知条件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20 亦即a2-ab+b2ab 由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab 即a3+b3a2b+ab2，由此命题得证例2.若实数，求证：证明：采用差值比较法：= = =例3.已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：（1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。（2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。第5课时 2.2.2反证法教学过程:学生探究过程：反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例1.求证：不是有理数例2.已知，求证：（且）例3.设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例4.设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例5.设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0同理可证：b 0, c 0巩固练习：第83页练习3、4、5、6课后作业：第84页 4、5、6教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。第6课时 2.3.1数学归纳法（1）数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。例1.以知数列an的公差为d，求证：说明：归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。数学归纳法证明的基本形式；练习1.用数学归纳法证明例2：用数学归纳法证明(nN,n2)说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。练习2.用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边有_项,右边有_项；(2)当n=k时,左边有_项,右边有_项；(3)当n=k+1时,左边有_项,右边有_项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?变题: 用数学归纳法证明 (nN+)例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。课堂小结1数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.【反馈练习】1用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )A. B C D 3若n为大于1的自然数，求证 证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即4用数学归纳法证明第7课时 2.3.2数学归纳法（2）教学过程：问题1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。问题3：用数学归纳法证明：能被9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。例1.求证: 能被整除（nN+）。例2.数列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通项公式，并证明你的猜想。说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳猜想证明变题：设数列an满足，nN+, (1)当a1=2时，求，并猜想an的一个通项公式； （2）当a13时，证明对所有的n1,有 ann+2 例3.平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。例4.设函数f(x)是满足不等式,(kN+)的自然数x的个数；（）求f(x)的解析式；（）记Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),试比较n与n的大小。课堂小结1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳猜想证明。2.两个注意：（1）是否用了归纳假设？（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？反馈练习1.观察下列式子 则可归纳出_ (nN*)2用数学归纳法证明 3已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。4.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.课外作业 第7课时 章节复习小结教学目标：1了解本章知识结构。2进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。3认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。教学难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力教学过程：推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法数学归纳法一、知识结构：二、探索研究我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。三、例题评析例1.如图第n个图形是由正边形“扩展”而来,（，）。则第n2个图形中共有_个顶点。变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖 块。例2.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_;变题1：已知，m是非零常数，xR,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。变题2.数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）例3.设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：为偶函数。例4.设Sn=1+ (n1,nN),求证： （）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。变题：是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2（1）n=1时，等式以证，成立。（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 四、课堂小结体会常用的思维模式和证明方法。五、反馈练习1在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则A B C D2定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形（1）（2）（3）（4）那么下列图形中（1）（2）（3）（4）可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A（1）、（2） B（2）、（3） C（2）、（4） D（1）、（4）3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 6解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 4 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解 (1) 设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明 由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立 假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时， ,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a1时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+1课外作业 推理与证明巩固练习11下列几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条直线的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)A与B是两条平行直线的同旁内角(小前提)，AB180(结论)2下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理归纳推理是由一般到一般的推理演绎推理是由一般到特殊的推理类比推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理AB C D解析：选D.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理3下面使用类比推理恰当的是()A“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类推出“”C“(ab)cacbc”类推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”解析：选C.由类比推理的特点可知4定义集合A，B的运算：ABx|xA或xB且x(AB)，则ABA_.解析：如图，AB表示的是阴影部分，设ABC，运用类比的方法可知，CAB，所以ABAB.答案：B5设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4b14q6，T8b18q127b18q28，T12b112q1211b112q66，b14q22，b14q38，即()2T4，故T4，成等比数列答案：6等差数列an中，公差为d，前n项的和为Sn，有如下性质：(1)通项anam(nm)d；(2)若mnpq，m、n、p、qN*，则amanapaq；(3)若mn2p，则aman2ap；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列请类比出等比数列的有关性质解：等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn，则可以推出以下性质：(1)anamqnm；(2)若mnpq，m、n、p、qN*，则amanapaq；(3)若mn2p，则amanap2；(4)当q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列推理与证明巩固练习21下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2由，若ab0且m0，则与之间大小关系为()A相等 B前者大 C后者大 D不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得.3“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()A小前提错 B结论错 C正确的 D大前提错解析：选C.大前提正确，小前提正确，故命题正确4下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理5给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B.正确6观察图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为()ASn2n22n BSn2n2 CSn4n23n DSn2n22n解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n2时有S24，分别代入即可淘汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n1项和，即Sn(n1)442n22n.7ycosx(xR)是周期函数，演绎推理过程为_答案：大前提：三角函数是周期函数