数学问题非传统解法.ppt

2019/5/9,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,1,第 1 0 章 数学问题的非传统解法,薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题的MATLAB求解，清华大学出版社2004 CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹,2019/5/9,2,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,本章主要内容,模糊逻辑与模糊推理 神经网络及其在数据拟合中的应用 遗传算法及其在最优化问题中的应用 小波变换及其在数据处理中的应用 粗糙集理论与应用 分数阶微积分学及其应用 本章要点简介,2019/5/9,3,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.1 模糊逻辑与模糊推理,10.1.1 经典集合论和模糊集 10.1.2 隶属度与模糊化 10.1.3 模糊推理系统建立 10.1.4 模糊规则与模糊推理,2019/5/9,4,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,经典集合论及其 MATLAB 求解,集合论是现代数学的基础 集合：一些事物的全体，而其中每一个事物均称为集合中的一个元素。 可枚举集合：该集合中的所有元素均可以一一列出的集合,2019/5/9,5,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,集合表示举例,2019/5/9,6,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,MATLAB 下的集合运算函数,2019/5/9,7,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-1】已知,对这些集合进行各种运算，并验证,2019/5/9,8,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,9,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-2】,试验证结合律,2019/5/9,10,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,交集:,并集:,验证结合律:,2019/5/9,11,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,模糊集合,经典集合： 一个事物a 要么就属于集合A，要么就不属于集合A 美国控制论专家 Lotfi A Zadeh 教授，1965 Zadeh 教授指出，当问题的复杂性增加时，精确的描述将失去意义，而有意义的描述将失去精度。,2019/5/9,12,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,13,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.1.2 隶属度与模糊化,钟形隶属度函数,数学函数:,MATLAB 求解函数:,2019/5/9,14,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-3】 绘制出不同参数组合下的钟形隶属度 函数曲线。,2019/5/9,15,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,Gauss 隶属度函数,数学函数:,MATLAB 求解函数:,2019/5/9,16,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-5】 绘制不同参数下 Gauss 隶属度,2019/5/9,17,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,Sigmoid 型隶属度函数,数学函数:,MATLAB 求解函数:,2019/5/9,18,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-6】 绘制 Sigmoid 隶属度函数,2019/5/9,19,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,隶属度函数的图形编辑界面,用界面编辑隶属度函数 修改隶属度参数 添加隶属度函数,2019/5/9,20,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.1.3 模糊推理系统建立,建立新模糊推理系统:,添加新变量:,2019/5/9,21,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,22,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,23,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.1.3 模糊规则与模糊推理,模糊化 模糊规则 解模糊,2019/5/9,24,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.2 神经网络及其 在数据拟合中的应用,10.2.1 神经网络基础知识 10.2.2 神经网络界面,2019/5/9,25,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,单个人工神经元的数学表示形式,2019/5/9,26,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-9】 常用传输函数曲线,2019/5/9,27,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,BP 神经网络结构示意图,2019/5/9,28,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,29,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-10】,2019/5/9,30,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.2.1.2 神经网络的训练与泛化,神经网络训练函数 目标值曲线函数 神经网络泛化,2019/5/9,31,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-11】由例8-25中的数据进行曲线拟合,2个隐层，隐层节点选择为5,2019/5/9,32,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,33,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,34,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,选择隐层15个节点:,2019/5/9,35,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-12】二元函数的拟合,2019/5/9,36,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,37,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,38,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,39,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.2.2 神经网络界面,启动神经网络界面 nntool 【例10-13】重新求解一元函数拟合,2019/5/9,40,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.3 遗传算法及其 在最优化问题中的应用,遗传算法是基于进化论，在计算机上模拟生命进化机制而发展起来的一门新学科，它根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则搜索和计算问题的解。 美国 Michigen 大学的 John Holland 于 1975 年提出的。 遗传算法最优化工具箱 MATLAB 7.0的遗传算法与直接搜索工具箱,2019/5/9,41,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,遗传算法的基本思想,从一个代表最优化问题解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，这里种群由一定数量的、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代一代进化，通过若干代的进化最终得出条件最优的个体。,2019/5/9,42,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,简单遗传算法的一般步骤,选择 n 个个体构成初始种群 ，并求出种群内各个个体的函数值。 设置代数为 i=1，即设置其为第一代。 计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个个体的方式。 通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群 。 i=i+1，若终止条件不满足，则继续进化。,2019/5/9,43,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,遗传算法和传统优化算法比较,不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法，遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索。 遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索。 遗传算法采用的是概率型规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，有时甚至会有较大的差异。,2019/5/9,44,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.3.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例,GAOT 工具箱 MATLAB 7.0 GA工具箱界面， gatool(),2019/5/9,45,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-14】,2019/5/9,46,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,不同初值得出不同“最优解”,2019/5/9,47,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,48,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,最优化搜索结果列表,2019/5/9,49,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,50,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-15】求最大值,2019/5/9,51,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,52,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,GAOT 的最优化函数,可以设置其他参数 n为最大允许代数,2019/5/9,53,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-16】求最大值,2019/5/9,54,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,55,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,56,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-14】求下面的最优化问题,2019/5/9,57,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,58,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,遗传算法优化中间结果,2019/5/9,59,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.3.3 遗传算法在有约束 最优化问题中的应用,不能直接用于有约束最优化问题求解 可以令不满足约束的目标函数为小值 仍采用 gaopt() 或 ga() 函数求解,2019/5/9,60,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-18】,2019/5/9,61,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,62,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,建议求解方法：用 GA 找出全局最优解的大致位置,以其为初值调用最优化函数求精确解。,2019/5/9,63,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.4 小波变换 及其在数据处理中的应用,10.4.1 小波变换及基小波波形 小波：均值为零的一族波形 10.4.2 小波变换技术在信号处理中的应用 10.4.3 小波问题的程序界面,2019/5/9,64,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.4.1 小波变换及其 在数据处理中的应用,连续小波变换,2019/5/9,65,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-19】,2019/5/9,66,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,小波反变换函数,2019/5/9,67,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-20】,2019/5/9,68,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,离散小波变换,2019/5/9,69,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-22】,2019/5/9,70,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,小波工具箱中提供的基小波函数 显示基小波类型 小波分析函数,2019/5/9,71,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-22】绘制 Daubechies 6 基小波波形,2019/5/9,72,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-23】试绘制出常用基小波波形,2019/5/9,73,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.4.2 小波变换技术 在信号处理中的应用,2019/5/9,74,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,一维信号的小波分解 提取近似系数 cA 和细节系数 cD 信号重建,2019/5/9,75,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-24】,2019/5/9,76,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,77,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-24】,2019/5/9,78,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.4.3 小波问题的程序界面,可以键入 wavemenu 命令,2019/5/9,79,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.5 粗糙集理论与应用,粗糙集 (rough set) 是波兰数学家 Z Pawlak 为开发自动规则生成系统及研究软计算问题于 1982 年提出的。 粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学方法。 能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。,2019/5/9,80,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,下近似集：肯定属于 X 的最大的集合 上近似集：可能属于 X 的最大集合 集合边界区 若 Bnd(X) 非空，则 X 为关于 R 的粗糙集。,2019/5/9,81,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-26】,可见,可以写出,2019/5/9,82,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.5.1.3 信息决策系统,信息决策系统,2019/5/9,83,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-26】,2019/5/9,84,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,信息决策系统表,2019/5/9,85,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,近似集的 MATLAB 求解,【例10-28】,2019/5/9,86,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,信息决策表,2019/5/9,87,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.5.3 基于粗糙集的约简及处理,约简：不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集 核集：所有不可约去的关系,2019/5/9,88,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.5.2.2 粗糙集理论在信息约简中的应用举例,【例10-29】,找出不必要 的数码管,2019/5/9,89,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,90,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-30】SARS 诊断,2019/5/9,91,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,92,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,93,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.5.2.3 粗糙集约简的 MATLAB 程序界面,rsdav3,2019/5/9,94,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6 分数阶微积分学,n=1/2，微分是什么？ 300 年前的问题 应用领域，包括分数阶控制,2019/5/9,95,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,本节主要内容,10.6.1 分数阶微积分的定义与性质 10.6.2 分数阶微分的计算方法 10.6.3 分数阶微分方程求解,2019/5/9,96,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6.1 分数阶微积分的定义与性质,分数阶 Cauchy 积分公式,2019/5/9,97,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,Riemann-Liouville 分数阶积分公式 分数阶微分定义,2019/5/9,98,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,Caputo 分数阶微分定义 Caputo 分数阶积分定义为,2019/5/9,99,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶微积分有如下各条性质,线性 交换律,2019/5/9,100,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶微积分的积分变换,积分的 Laplace 变换 微分的 Laplace 变换 零初始条件 Fourier 变换,2019/5/9,101,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6.2 分数阶微积分的计算,利用 Fourier 级数计算周期函数的分数阶微积分,其中,2019/5/9,102,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,正弦、余弦函数微分，同样适用于分数阶 利用Fourier级数,2019/5/9,103,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,实现该算法的 MATLAB 函数,2019/5/9,104,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-31】,求解该函数的分数阶微积分,2019/5/9,105,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,106,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,不同阶次的分数阶微积分,2019/5/9,107,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-32】,求取该函数的分数阶微积分,2019/5/9,108,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,109,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,110,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,111,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,112,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶微分的数值算法函数,2019/5/9,113,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-33】,2019/5/9,114,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,绘制微分曲面,2019/5/9,115,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-34】,比较不同算法得出的 0.75 阶微分,Caputo 算法结果,2019/5/9,116,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶微积分的 Fourier 变换算法,Fourier 变换 分数阶微分的 Fourier 变换,2019/5/9,117,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,离散 Fourier 变换 函数分数阶导数可以表示成 计算方法，先用 FFT,再乘以频率加权，再进行 FFT 反变换求解,2019/5/9,118,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶微积分的滤波算法,连续滤波算法：Oustaloup 算法,其中:,2019/5/9,119,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,MATLAB 函数,2019/5/9,120,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-35】 的 0.5 阶微分,2019/5/9,121,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,不同滤波器阶次与参数 对滤波修改影响,2019/5/9,122,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,FIR 滤波器,2019/5/9,123,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-36】,2019/5/9,124,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,IIR 滤波器算法,变换函数 连分式算法,2019/5/9,125,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,126,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-37】 0.5 阶微分算子,2019/5/9,127,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,128,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,用 Pade 近似代替连分式,2019/5/9,129,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-38】 试构造更高阶的滤波器,2019/5/9,130,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6.3 分数阶微分方程的求解方法,分数阶线性微分方程的解法 非线性分数阶微分方程近似解法,2019/5/9,131,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6.3.1 分数阶线性微分方程的解法,分数阶线性微分方程 分数阶传递函数,2019/5/9,132,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,133,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,分数阶线性微分方程的数值解法,2019/5/9,134,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,135,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-39】求解下面的分数阶微分方程,2019/5/9,136,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,10.6.3.2 非线性分数阶微分方程近似解法,利用 Oustaloup 滤波器近似，可以构造出 Simulink 模块 c10mfode.mdl 模块可以直接应用与建模,2019/5/9,137,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,2019/5/9,138,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-40】重新求解分数阶线性微分方程,选择：,变换：,模型：,c10mfode1.mdl,2019/5/9,139,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,【例10-41】求解分数阶非线性微分方程,模型： c10mfode2.mdl,2019/5/9,140,高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院,