高中培优个性化讲义直接证明与间接证明.doc

衡阳个性化教育倡导者第十五讲 直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 2、了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点. 3、.了解数学归纳法的原理能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1、 知识回顾 课前热身知识点1、直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：.知识点2、间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法知识点3、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2、 例题辨析 推陈出新例1、设a、b、c0，证明abc.解答a、b、c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)，即abc.保持本例条件不变 ，试证明a3b3c3(a2b2c2)(abc)证明：a、b、c0，a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)，a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，将三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(a2b2c2)(abc)a3b3c3(a2b2c2)(abc) 变式练习1已知xyz1，求证：x2y2z2.证明：x2y22xy，x2z22xz，y2z22yz，2x22y22z22xy2xz2yz.3x23y23z2x2y2z22xy2xz2yz.3(x2y2z2)(xyz)21.x2y2z2.例2、已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)f.解答要证f(x1)f(x2)f，即证明(tan x1tan x2)tan，只需证明tan，只需证明.由于x1、x2，故x1x2(0，)故cos x1cos x20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)f.变式练习2已知a0，求证： a2.证明：要证 a2，只要证 2a.a0，故只要证22，即a24 4a2222，从而只要证2 ，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.例3、设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解答(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列变式练习3求证：a，b，c为正实数的充要条件是abc0，且abbcca0和abc0.证明：必要性(直接证法)：a，b，c为正实数，abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0.又abbcca0，a(bc)bc0，且bc0.又a0，bc0，a(bc)0，a0.这与a0，即a(bc)0.又a0.则a(bc)nxn1，nN*)至少有n个(即xn，nN*)至多有n1个(即xnxn1，nN*)n个都是n个不都是(即至少有1个不是)特例至多有1个至少有2个至少有1个至多有0个，即一个也没有4、 拓展延伸 能力升华例1、已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解答(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)Q BPQ CPQ D由a的取值确定解析：选C假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a722a72，只要证a27aa27a12，只要证012，012成立，Pb，ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立，其中正确判断的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选C正确；中，ab，bc，ac可以同时成立，如a1，b2，c3，故正确的判断有2个7不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A成等比数列而非等差数列 B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列 D既非等差数列又非等比数列解析：选B由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2. 故x2，b2，y2成等差数列8在R上定义运算：adbc.若不等式1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A B C. D.解析：选D据已知定义可得不等式x2xa2a10恒成立，故14(a2a1)0，解得a， 故a的最大值为.9某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案：“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|0，则实数p的取值范围是_解析：法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的范围为.法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p，故满足条件的p的取值范围是. 答案：12若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明：要证lglglglg alg blg c，只需证lglg(abc)，只需证abc.(中间结果)a，b，c是不全相等的正数，由基本不等式得：0，0，0，且上三式中由于a，b，c不全相等，故等号不同时成立abc.(中间结果)lglglglg alg blg c.13等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(