微分中值定理的证明与应用.doc

微分中值定理的证明与应用 B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有 罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间a，b上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii），则在（a，b）内至少存在一点，使得（）=0。证明：因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m M，则因 (a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点处取得，从而是的极值点，由条件(ii) 在点处可导，故由费马定理推知=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。例如： 易见，F在x=-1不连续，在x=1不可导，F(-2)F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 , 满足 注3：罗尔定理结论中的值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：在 -1，1 上满足罗尔定理的条件，显然在（-1，1）内存在无限多个 = 使得=0。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 满足如下条件：i)在闭区间上连续；ii）在开区间()内可导；则在（a，b）内至少存在一点，使得证明此定理要构造辅助函数 ，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且，从而推得证明：作辅助函数显然，F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(a，b)，使得 即 注1罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线 与直线AB,之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新轴（F（a）=F（b）。注3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： 注5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 证明： 任取两点 （设），在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得推论2 函数和在区间I上可导且推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取，在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得由于，因此当时随之有，对上式两边取极限，使得 （2）同理可得因为=存在，所以=，从而即注1由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且 ( 证 )二 应用举例:1可微函数单调性判别法：1.1 一阶函数与单调性的关系：(1) 设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内 ( 或 ).证 ) ) 证.(2) 设函数在区间内可导. 则在内( 或) 对 有 ( 或; 在内任子区间上2 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.2.1 可微极值点的必要条件: Fermat定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2.2 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.(充分条件) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则 在内 在内时, 为的一个极小值点; 在内 在内时, 为的一个极大值点; 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点. (充分条件) 设点为函数的驻点且存在.则 当时, 为的一个极大值点; 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.(充分条件 ) 设,而.则 为奇数时, 不是极值点; 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.2.3 利用单调性证明不等式: 原理1: 若, 则对, 有不等式.例4 证明: 对任意实数和, 成立不等式 证 取在内.于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,且; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)2.4.1 凸性的定义及判定：（1）凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数在区间上连续. 若对, 恒有 , 或. 则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.2.4.2 利用二阶导数判断曲线的凸向: 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中和在与之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有, 不妨设,并设 ,分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， 单调函数的最值: 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点. 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则