怎样证明两线段相等与两角相等.doc

怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程. 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述. 怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： 三角形两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； 证特殊四边形平行四边形的对边相等、对角线互相平分；矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 圆同圆或等圆的半径相等；圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则ac=bc；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等. 怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有： 同角（或等角）的余角、补角相等； 证明两直线平行，同位角、内错角相等； 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上； 全等三角形、相似三角形的对应角相等； 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一； 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等； 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角； 通过计算证明两角相等； 等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BEDF，连结EC、FC求证：ECFC 总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点C作直线CDAB于点D，E是AB上一点，直线CE与O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.求证：ACD=F；AC2=AGAF. 总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且ADE=BDC. 求证：ABC为等腰三角形；若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.例4已知：如图，正ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连结DE，交BC于点P. 求证：DP=PE； 若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键. 思考：若将条件正ABC改为等腰ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？若将条件正ABC改为等腰ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？例5已知：ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足， 求证：G是CE的中点；B=2BCE. 总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，O的内接ABC的外角ACE的平分线交O于点D，DFAC，垂足为F，DEBC，垂足为E，给出下列4个结论：CE=CF；ACB=EDF；DE是O的切线；=；其中一定成立的是（ ）A. B. C. D . 总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题. 巩固练习： 如图，ABC中，B的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，则D与A的比是_ 如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合. 如果AP=3，那么PP的长为_. 如图，B、C的平分线交于点P，过点P作EFBC，交AB于E，交AC于F，则( )A. EF=EB+FC B. EFEB+FC C. EFAC C. 2AB2CD C. AB2CD D. 不能确定 如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：E=F；BE=DF 如图，ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF， 求证：AGAF RtABC中，A=90，AB=AC，D为BC上任意一点，DFAB，DEAC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并说明之. 如图，AB是O的直径，DC切O于C，ADDC，垂足为D，CEAB，垂足E 求证：CD=CE. 已知：如图，AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA交ABC的外接圆于点F. 求证：FB=FC；若，求FB的长. 梯形ABCD中AB/CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题. AD=BC MNBC AM=DM怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质. 证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比. 证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明. 证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理. 例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF. 总结：线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A的一条直线，BDAE于D，CEAE于E， 求证：若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想. 例3如图，ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证：例4已知：如图，等腰ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，DFAC，垂足为F 求证： 总结；解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC为圆O的直径，ADBC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.求证：AE=BE。 AHBC=2ABBE.例6如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论： EPC=APD 正确的有_. 巩固练习； 在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_. 已知：O为ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G ，则_. 选择：如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）A. AEAF B. EFAF=1 C. D. FBFC=HBEC 第题 第题第题如图，正ABC内接于O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，有如下结论: PA=PB+PC PAPE=PBPC 其中正确结论的个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 如图，已知与外切于点C，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，分别延长AC、BC交于点E，交于点D，下列结论，正确的有（ ）个AD为的直径 ADBE ACBC=DCCE ACAE=BCBDA.1 B.2 C.3 D.4 已知：如图，设D、E分别是ABC外接圆的弧AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G, 求证：AFAG=DFEG. 第3题 第4题 O的两条割线AB、AC分别交O于D、B、E、C，弦DFAC交BC圆于G.求证：ACFG=BCCG; 若CF=AE，求证：ABC是等腰三角形. 如图，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F（不与B重合），直线l交O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD求证：BADCAG；ACADAEAF在问题中，直线l向下平行移动，与O相切，其他条件不变请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 6已知：AB是O的直径，弦CDAB于M，点E是上一动点. 如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，求证：CED=ADE =NFNE 如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么=NFNE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由. 图1 图2.7如图，ABC中，C=90，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。8如图，以ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。9。如图，ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD。10如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。11已知：如图2，ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DFBC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。具体应用方法分类一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C在BD上，ABC与CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证：CP=CQ。二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例2、如图2，已知：在ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。求证：FB=FC，FE=FD。三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例3、如图3，已知ABC为Rt，D为斜边AB的中点，DEAC于E，DFBC于F。求证：AE=CE，BF=CF。四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明例4、如图4，已知：ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，B、C的平分线交于I，求证：I到AB、BC、CA的距离相等。五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明例5、如图5，已知：ABC中，A=90，D为ABC内一点，且AB=AC=BD，ABD=30求证：AD=DC六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段例7、如图7，锐角ABC中，B=2C，ADBC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。求证：AF=FC。八、利用中心对称证明例8、如图8，已知AT为ABC的内角平分线，M为BC中点，MEAT，交AB、AC或其延长线于D、E，求证：BD=CE。九、利用勾股定理证明例9、如图9，已知：M为ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求证：AE=AF。十、利用比例证明例