泰勒斯定理的高维证明.docx

泰勒斯定理的高维证明准备工作1. 定义一个N维单位矩阵A (主对角线上的数值全部等于1)：其行向量依次为A1,A2An2. 定义一个N维正交矩阵B (矩阵的秩=1)：其行向量依次为B1,B2Bn且B坐标系与A坐标系原点重合3. 定义一个N-1维幺矢向量T (即模=1)：其坐标表达式为 (T1,T2Tn-1)4. 定义直线与N-1维空间法向量的夹角x：因为N-1维空间的外部特征向量是该空间的法向量，并且直线与它在该法向量上的投影形成两个互补的夹角，这两个夹角中小于/2的那一个角称为直线与N-1维空间法向量的夹角。如果直线垂直于该空间的法向量，规定它们的夹角为/2；如果直线平行于该空间的法向量，规定它们的夹角为0。考虑到若Bn.An=0且x=/2时定理不成立所以下面所有x的定义域都设置为0,/2)左闭右开区间5. 定义一个2维幺矢向量：其坐标表达式为 (Cosx,Sinx)6. 定义一个N维球：其向量表达式为 (V.B1)2+(V.B2)2+(V.Bn)2=R2 (R0)7. 定义一个与N维球相交且垂直于Bn向量的N-1维空间：其向量表达式为 V.Bn=R*Cosx8. 定义一个垂点P：其向量表达式为P=R*Cosx*Bn9. 确定6与7构成的联立方程的通解F： 其向量表达式为F=R*F0=R*Cosx*Bn+Sinx*(T1*B1+T2*B2+Tn-1*Bn-1) F0为解向量的幺矢并且F0.An不等于1 其坐标表达式为 (M1,M2Mn) 且Mn的数值不等于R10. 延长垂点P至P1：其向量表达式为P1=R*Secx*Bn 其坐标表达式为 (W1,W2Wn)11. 确定投影视点P2：其向量表达式为P2=R*An 12. 确定投影空间：因为是球极投影所以投影空间是一个垂直于An的N-1维空间，其向量表达式为V.An=P1.An=Wn 该投影空间经过P1点纯粹为了方便证明13. 确定F与P2的差向量L1： 其向量表达式为L1=R*(F0-An) 其坐标表达式为 (M1,M2Mn-R)14. 确定P1与P2的差向量L2： 其向量表达式为L2=R*(Secx*Bn-An) 其坐标表达式为 (W1,W2Wn-R)15. 确定比例系数K：其代数表达式为K=(Wn-R)/(Mn-R)16. 定义方程通解的投影点P3： 其向量表达式为P3=K*L1+P2= R*K*F0+(1-K)*An 其坐标表达式为 (K*M1,K*M2K*Mn-1,Wn)开始证明：现在依泰勒斯定理的引申意P3的集合应该是一个以P1为中心的N-1维球现在我们只要证明P2与P1的间距S恒定即可。推导过程如下所示：S2=(K*M1-W1)2+(K*M2-W2)2+(K*Mn-1-Wn-1)2+(Wn-Wn)2 =(K*M1-W1)2+(K*M2-W2)2+(K*Mn-1-Wn-1)2= K2*(M12+M22+Mn-12) + (W12+W22+Wn-12)- 2*K*(M1*W1+M2*W2+Mn-1*Wn-1)=K2*(R2-Mn2)+(RSecx)2-Wn2)-2*K*(V.P1-Mn*Wn)其中V.P1=V模*P1模*(F0.Bn)=R*R*Secx*Cosx=R2= K2*(R2-Mn2)+(RSecx)2-Wn2)-2*K*(R2-Mn*Wn)= R2*(K2+Secx2-2*K)-(K*Mn-Wn)2= R2*( Secx2-1)+(K-1) 2-(K*Mn-Wn)2=R2*Tgx2+(K-1) 2 -(K*Mn-Wn)2=(R*Tgx)2+ R *(K-1) 2 -(K*Mn-Wn)2其中R *(K-1)= R *(Wn-Mn)/(Mn-R) (K*Mn-Wn)= Mn *(Wn-R)- Wn *(Mn-R)/(Mn-R)= R *(Wn-Mn)/(Mn-R)两值相等平方差=0 =(R*Tgx)2 推出S=R*Tgx 证明完毕需要指出在任意不经过投影视点P2的投影空间中，经投影得到的N-1维球的中心都在由投影视点P2与P1点构成的射线上；当投影空间经过投影视点P2时，无论通解V是否与投影视点P2重合，P3的集合都收缩于投影视点P2，但并不影响定理的成立。现在我们研究一下假设存在一个比例系数K使得下面等式成立，看看K值有何变化(K*M1-W1)2+(K*M2-W2)2+(K*Mn-1-Wn-1)2=(R*Tgx)2推导过程：K2*(R2-Mn2)+(R*secx)2-Wn2)-2*K*(R2-Mn*Wn)= (R*Tgx)2K2*(R2-Mn2)+(R2-Wn2)-2*K*(R2-Mn*Wn)= 0R*(K-1)2-(K*Mn-Wn)2=0解方程:R*(K-1)+ (K*Mn-Wn)=0 K1= (Wn+R)/ (Mn+R)R*(K-1)- (K*Mn-Wn)=0 K2= (Wn+R)/ (Mn+R)为什么有两个解都能使等式成立，这与投影视点的选取有关，对于K1来说投影视点是选取在-R*An即南极点，而对于K2来说投影视点是选取在R*An即北极点，虽然两个解都能使等式成立，但意义完全不同，现用下图说明F1集合 垂点P3P2P1PB1AA1B投影视点在北极点时：A被投影到A1点，B被投影到B1点投影视点在南极点时：A被投影到B1点，B被投影到A1点不要想太多，这只是在投影空间不变但投影视点改变的前提下针对A点和B点的投影产生的一个特殊变化而前面之所以说意义完全不同主要是因为:V=V1+V2其中V1集合经过投影空间，V2集合不经过投影空间可推出:对于V1来说，从北极投影到投影空间的坐标值 等于从南极投影到投影空间的坐标值对于V2来说，从北极投影到投影空间的坐标值不等于从南极投影到投影空间的坐标值结论:对于V来说，从北极投影到投影空间得到的P2分布状态不同于从南极投影到投影空间得到的P2分布状态事实上任意经过P1点的 (V1-P1)向量都不是这两种分布状态的对称轴图中F1是F.An=P1.An=Wn的解向量 依题意有 R*Cosx*B(n,n)+Sinx*(T1*B(1,n)+T2*B(2,n)+Tn-1*B(n-1,n)=Wn在R，B坐标系各轴幺矢，x都确定的情况下上式化为T1*B(1,n)+T2*B(2,n)+Tn-1*B(n-1,n) = Wn - R*Cosx*B(n,n)/( R*Sinx)代入Wn= R*Secx*B(n,n) 上式化为T1*B(1,n)+T2*B(2,n)+Tn-1*B(n-1,n) = R*Secx*B(n,n) - R*Cosx*B(n,n)/( R*Sinx)= B(n,n)*Tgx即T1*B(1,n)+T2*B(2,n)+Tn-1*B(n-1,n) = B(n,n)*Tgx 等式两边同时乘以法化因子1-B(n,n)2-0.5以后化为T.X= Tgx *B(n,n)/ 1-B(n,n)20.5=K1 X是转化后的N-1维幺矢向量 其坐标值依次为X1,X2Xn-1 K1代表乘积数值等式左边是两个N-1维幺矢的点积 因为值域属于-1,1闭区间等式右边可以看作两个已知正切值的乘积 所以B(n,n)属于-Cosx,Cosx闭区间也就是当B(n,n) 属于-Cosx,Cosx闭区间时F的集合F与过P1点的投影空间 有交集 方程有解当B(n,n)不属于-Cosx,Cosx闭区间时F的集合F与过P1点的投影空间没有交集 方程无解当B(n,n)的数值符合定义域的要求时，就转化成了一个(N-1)元一次方程。对T求解便可满足F.An=P1.An=Wn的要求。解方程时需定义一个特殊的N-1维幺矢U 其坐标表达式为 (U1,U2Un-2,0) 同时令K2=(1-K12)0.5将T=K1*X+K2*U代入F=R*F0=R*Cosx*Bn+Sinx*(T1*B1+T2*B2+Tn-1*Bn-1)得到F= R*Cosx*Bn+Sinx*(K1*X1+K2*U1)*B1+(K1*X2+K2*U2)*B2+(K1*Xn-1+K2*Un-1)*Bn-1因为R，B坐标系各轴幺矢，x都确定，并且B(n,n)属于-Cosx,Cosx闭区间，系数K1 与K2和X向量都已知且Un-1=0所以上式化为F=R*Cosx*Bn+Sinx* K1*(X1*B1+X2*B2+Xn-1*Bn-1)+K2*(U1*B1+U2*B2+Un-2*Bn-2)此时F=F1是一个关于U的向量函数，每确定一个U就有一个确定的F1与之对应