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从应用题到解决问题的渐变泗河小学:侯海文各位领导、老师们，大家下午好！根据会议安排，由我做解决问题的发言，我感到非常荣幸，能够有这么一个机会和大家交流我的学习和工作情况。今年5月710日，我们一行5人去烟台参加了“全国小学数学解决问题教学研讨会。”在听的这十几节课中（全国各个版本的教材都有）。还听了4位数学专家的讲座。其中最重要的是：北京师范大学教授、全国著名数学专家、小学数学教学杂志顾问、人教版教材主要编写者周玉仁教授做的关于从应用题到解决问题讲座，使我们与会人员受到很大的教育和启发。下面我把参加烟台专题研讨会上专家的一些观点以及我个人的理解向大家作一汇报，不当之处请领导和老师批评指正。一、新课程改革打破传统的应用题格局案例：20032004年，国家刚刚课改一年，第一轮教材修订时。有一位数学专家去国家实验区调研（山西临汾的一个实验区）。当时那地方也刚刚课改一年（因为这个地方是实验区），。他把所有的老师都招集到一起说：“老师们你们已经经历课程改革一年时间了。我想问大家一个问题：课程改革与传统的教学最大的不同是什么？”这时大家就讨论什么不同，什么不同。当争论不休的时候，一个头发花白的老教师，走向前来紧握住专家的手说：“徐老师，根据我几十年的教学经验，我认为课程改革和传统教学最大的不同就是上课的开头变了。过去我们教了几十年数学都知道，我们一上课就是复习铺垫。现在课程改革之后，突然一夜之间所有的老师一上课都变成了创设情境。”1、为什么把应用题改为解决问题（1）符合义务教育培养目标、数学广泛应用的基本特征和国际数学课改的趋势。（完全体现了邓小平的“三个面向”） 1978年以前，我国的教材、大纲都是翻译的前苏联的。（并且是原文翻译）到1978年以后，邓小平要求重编大纲和教材，并提出大纲和教材的编写要与国际接轨。（2）针对过去“应用题”的种种弊端。（下面我们会做进一步介绍）2、解决问题与应用题的区别（1）现在的教材离学生的生活近了首先教材不同了，教材上最大的不同是和学生的生活更近了，过去的教材离学生的生活远。有一些教材搞的学生不清楚，甚至老师也不清楚，老师自己也不知道。案例：1、在座的老师可能编过这样的题目。“某车间原计划三月份生产300件零件，改进工作效率后，怎么样，怎么样”当老师出示这个问题时，学生都愣在那里。紧接着有一个学生举手问了，老师什么叫车间啊，老师就解释车间就是工厂生产零件的房间。学生第二个问题就来了，问：“老师什么是零件啊？”学生没见过不知道，老师就打比方、举例子了，镙丝镙帽你们看到过吗？学生回答：“看到过”。那就是零件。生又问老师铁钉是不是零件？老师想了想说，可以看作零件。那钉铁钉的锤子是不是零件呢？老师一看离题远了。说你们下课问一问工人叔叔吧。这种题目就是人为编造的，学生生活中没有这种生活的元素，学生无法理解，这就不是从学生的生活出发。案例：2、过去还有一些题目曾经被中央电视台播出的相声批判过。说现在数学老师不知在干什么？编的那叫什么题目啊！说：“有一个很大的水池子，开放水管经过几个小放满了，开排水管经过几个小时排完了，现在两水管同时开，问几个小时灌满水池子。可能大家都听过这个相声吧？我记得相声是这样说的：你到底要解决什么问题？你想干嘛？你想灌水开排水管干什么？对学生来讲，这不是极大的浪费水资源吗？这当然是一种数学模型。作为数学模型是有数学价值的。但作为例子是不妥当的。还有现代的一些例子，说：“有一份材料，甲单独打需要4小时完成，已单独打6小时完成，丙单独打7小时，然后甲乙合打1小时，剩下的乙丙合打还需几小时？”有那个文稿是这么打的，这也是典型的人为编造。伪背了生活，更加不是数学，连生活都不是还是数学吗？数学它来源于生活。所以现在数学课本上的素材能让学生从生活中找到原型。这样学生就能够调动他自己已有的生活经验去分析数量关系、去解决数学问题。不然他听不懂在干什么，怎么解决问题呢！怎么来提高学习数学的兴趣呢。（2）划分领域、教材编排有所不同课程改革以前，应用题教学是一个单独的领域。是随计算题后第二大块容。旧教材中每一册教材各章各节都有应用题。由低年级、中年级到高年级贯彻始终。是一个由低层次的结构到高层次结构并互相联系、逐步发展的完整的教学过程。可以说应用题的“循序渐进、环环相扣”体现得更加严谨。新课程改革教学课程标准（实验稿）将数学内容分为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域。新课程实验教材没有单独编排“应用题”单元。人教版实验教材将“解决问题”融合于“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等四大领域的学习中。为什么不再单独设“应用题单元？数学课程标准解读中是这样写的：“将小学应用题教学与运算教学紧密结合，让学生在建立数学概念、原理和方法的过程中理解和解答应用题，发展学生根据实际情况和运算意义解决问题的能力。”也就是说在运算意义单元的教学中，不单单只是运算的教学，同时要重视运用运算意义去解决问题的教学。（在运算意义的单元中，很多情况是有很少解决问题例题或没有例题）从而提高学生解决问题的能力。（3）教学理念、教学目标不同过去的应用题教学是向学生提供已经整理好的材料，因而教学的中心就是训练学生一些基本技能，掌握一些数量关系。把找到“解决”作为目标，进而是模仿与记忆。“识别”类型成了学生主要的认知活动。解决问题关注的是当学生在生活中遇到问题时，如何运用数学思想的策略来解决问题。解决问题的过程中，重视培养学生对信息材料的处理能力和数学模型的建立能力。体会解决问题策略的多样性，在经历与体验中主动构建模型，学生掌握的不只是解题的技巧，还有的就是学会运用数学的思维去思考，去解决生活中的问题。（4）在功能和价值取向上有明显区别儿童的解决问题是在探究。解决问题绝不同于过于的应用题（过去的应用题教学是向学生提供已经整理好的材料，教学的中心就是训练学生一些基本技能，掌握一些数量关系。进而是模仿与记忆。“识别”类型成了学生主要的认知活动。它不是技能的培养，而是机器的记忆。）而解决问题直接指向的是解决现实生活中的实际问题，且具有综合性、挑战性、多元性、开放性。它主要是锻炼学生的技能。（5）以前的应用题与现在的解决问题主要的区别在于有“3个不变”，有“2个变”。“3个不变”是：基本概念不变；基本数量关系不变；核心思想方法的渗透和把握不变。“2个变”是指：让学生经历数学化的过程变为要有情境；学生学习方式由被动变为主动，策略由单一变为个性化。依此不难看出数量关系还是必要的。虽然新教材中没有呈现出来，但学生在分析理解应用题时还是在运用这些关系。我认为，新课标的提出不是全盘否定旧教材和旧思路，应该是在已有的经验基础上取长补短，把更多的思考空间留给学生。3、解决问题三大要求（1）让学生学会从数学角度发现问题，提出问题，分析并解决问题；这就是课本中每一单元开始都有的情境图，这个素材就是为了让学生从数学的角度去发现问题，有时发现问题比解决问题重要的多。（2）通过解决问题掌握解决问题的策略，培养学生创新能力，应用能力；（3）学会同同学合作交流，养成一个反思和评价的习惯。现在的诺贝尔奖获得者的后面都有一个庞大的组织。可以说这个诺贝尔奖是整个组织努力的结果。可见，学会合作交流是多么的重要。检验也是非常重要的，是提高解题正确率重要的手段。让学生体验从发现问题到检验的整个过程，培养学生解题的完整性。养成一个检验的好习惯。往往完整的解决一个问题，要比不完整解决几个问题重要的多。二、解决问题教育功能的几点思考1、完成二个转变，一个不能少。小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两个认识上的转化。第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题。这种从现实生活中抽象出数学问题能力的培养在当今信息社会的生活中是十分重要得；第二个转化是根据已抽象出来得数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解或求近似解，进而在实践中检验；必要时，还能回顾反思自己解决问题的全过程。以上两个转化是相辅相成，缺一不可得。在以往的数学教学中，往往很重视第二个转化，引导学生去分析条件与问题之间的关系，根据数量关系求解并检验（这个检验是非常重要的），这是解决问题必须具备得基本能力，应充分肯定。但是，最大的缺失就是忽视第一个转化，呈现的文字应用条件不多也不少，并与问题完全匹配，不需要学生自己去发现问题和提出问题，换句话说，第一个转化由教材或教师代劳了，这是传统应用题教学的一大弊端。而目前课改后的新教材呢？为学生提供了不少新鲜而贴近学生的生活情境。采用了画图、对话、表格、文字等多种形式，让学生感到这些问题都来自自己熟悉的生活原型，初步学习发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，这是课改中的一大进步。但是在完成第二个转化时，又往往一带而过，显得比较单薄，甚至认为只要了解故事情节，难题就一定不成问题。殊不知了解和熟悉问题情境是顺利解决问题的必要条件而不是充分条件，要引导学生剖析其中的数量关系，磨刀不误砍柴工，这样才能举一反三，以后遇到变式问题，才不会束手无策。总之，只有同时重视学生在解决问题中的思维跨度完成两个转化，才能有效地提高学生解决问题的能力。2、解决“常规”及“非常规”问题，功能互补。新教材中的解决问题实质上分两大类。一类是如新增设的“实践与综合应用”数学广角等，这是以现实问题为载体，引导学生综合所学的知识和生活经验，通过独立思考或与他人合作，经历发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的全过程，并能积累数学活动经验，培养学生的应用意识和创新意识。这是一类具有挑战性、多元性、综合性和开放性的“非常规”问题，在教改实践中已显示其明显的作用。另一类是融于“数与计算”等领域并作为解决相关领域的实际问题而呈现的“常规”的应用问题，这类问题的功能同样重要，它有利于巩固知识、培养数学思维以及提高解决简单的实际问题的能力。事实上，两类问题的功能相辅相成，相互补充的。对小学生说来，培养他们解决多元的、开放的、综合的、具有挑战性的实际问题的能力，还需从解决简单的、一元的、基本的常规问题着手。正如盖一座综合功能的高楼大厦，必先从一砖一瓦、一块块预制板垒起来一样，教材的设计就是从简单到复杂，从一元到多元，由常规到非常规进行统筹安排。3、掌握好图画情境与文字题的过渡一年级学生很多一些图画情景题，它有利于激发学生的兴趣，帮助学生身临其境，了解题意。提供的生活情境简明、生动、有童趣，突出数量关系。如：有的一年级教材，在画面上画着两堆（装箱）水果，一堆上标了“苹果28箱”，另一堆标上“梨24箱”，旁边画着一辆小卡车，车身标有“限装50箱”字样，小卡通问：“一次能运完吗？”这样的图画情境题贴近学生生活实际，改变了过去“一共有多少箱”的刻板问题模式，思维含量高，学生能不喜欢吗？当然，在提供的情景题中要防止过泛过大，防止花哨，要突出数学的本质。在观察情景题中，有的教师十分注意让学生从图画情境中收集有用的数学信息，并引导他们学会有条理地表述图意，确为正式解决问题打下良好的基础。进入二年级，教材逐步出现一些半文半图、表格式的，或直接用文字叙述的应用问题，以培养他们初步的抽象概括能力。图画情境在低年级是必要的，但不能只停留于此而过分迷恋。我们认为，文字应用问题与图画情景题提供的都是数学情境，不同的是文字题提供的情境与形象的图画相比是概括的、理性的，它是经过数学提炼的，解答这种言简意赅的数学问题是实行第二个转化的必须，同时也是数学的本意所在。因此要注意引导学生会读题，读懂题。“读懂”对小学生来说，并不只是能区分题目中告诉了我们什么（条件），要求的是什么（问题），而是要把题目中的故事内化成学生自己的认识，并且保留在头脑中形成清晰的映像，正如有的老师所总结的“读文想图”，“图文合一”，然后才有可能正确地去解题。4、重视分析数量关系无论是解决“常规”的或“非常规”的问题，在弄懂题意，分清条件和问题后，都要重视分析题目的数量关系。分析应用问题的核心就是分析数量关系，数量关系有按加、减、乘、除意义的基本数量关系，也有密切结合某些实际素材的常见数量关系。常见得数量关系是“速度X时间=路程、单价X数量=总价、工作效率X工作时间=工作总量”等也都是数学模型。在小学生能够理解得基础上，适时用数学语言（包括符号）予以抽象概括，这不仅大大有助于提高他们解决实际问题的能力。而且其本上就是数学思想得一种重要体现。三、重视四则运算意义的教学要使学生解决问题能力的提高，最重要最基础的是对四则运算意义的理解。案例认识乘法例如：在济宁听徐斌老师的讲座时他给我们举了这一个课例。徐州的一位小周老师上的一节认识乘法上课一开始老师就说：“今天，老师带领大家到森林去，你们高兴吗”。“高兴”。师：“今天看谁最聪明，观察这幅图你有什么发现。”学生们兴奋地举手发言。生1：我发现这里真好玩，有小动物、有房子、大树、白云。生2：我发现小河的水还在不停在流呢。生3：小兔了今天真高兴，总一跳一跳的。生4：我发现小鸡的头一点一点的是在啄虫呢？还是在啄草呢？生5：远处的白云漂来漂去，好像是在欢迎我们小朋友呢！生6：小兔子是过桥这边来呢？还是到桥那边去呢？十分钟过去了，学生们依然有不断的发现，老师在不断的肯定。师生在美妙的情境中留恋忘返。第二天，小周老师让徐斌老师去上评课。徐斌老师是这样说：“这节课你的前十分钟，说的客气一点你不在上数学课，说的严重一点这十分钟是浪费学生的生命。”小周老师不满意说：“我认为前十分钟是上的最好的，你说我是在浪费学生生命，我说什么也不理解。”当时课程改革刚刚开始，其他老师也都称赞说：“尤其是前十分钟好。”小周说：徐老师，教案你给我改了又改，课件改了又改，上完课你说是浪费学生生命，我说什么也不理解，除非你上一节课我看看。”同样一节课，同样的情境图徐斌老师是这样上的，他用了3个问题，把情境图讲完了。一上课。师：“小朋友们，老师今天带领大家到森林里去，你们高兴吗？生：“高兴”第一个问题：“在情境图你发现有几种动物”学生说：“有两种，鸡和兔”大树，河流，房屋，白云，小桥与下面的学习乘法有必然联系吗？“没有”这叫什么，这叫情境中的非数学信息干扰学生的数学学习。第二个问题“同学们，看一年这些鸡和兔是怎样排列的”生：老师，今天它们都是分散的。生：老师，兔总是两只，两只的搓在一块，鸡总三只三只的围在一起第三个问题“要想知道这里有几只鸡，几只兔，该怎么办呢？”生“我数，1、2、3、4、5、6”生“老师，我和他数的不一样2、4、6”“你为什么这样数呢”“兔子都是2只2只的”这时老师该教给学生所学知识了，兔子可以这样数一个2，两个2，三个2。那鸡该怎样数呢学生：一个3，两个3，三个3，四个3教学进行到这里，学生自然而然的认识到了什么是乘法。当教学到最后，老师就说了：“今天老师又给你们了只眼睛，就是乘法的眼睛，请同学们来看一看我们的身边有乘法吗？”乘法是什么，就是几个几学生：有，一个窗子6块玻璃，有3个窗子。就是36或63。无疑，这节认识乘法是成功的。学生理解了乘法的意义，并能从身边找到乘法。这对发后乘法解决问题奠定了坚实的基础。加法就是合算，把两个数或几个数合并成一个数的算法叫加法。减法就是分。除法就是平均分。我们怎样判断学生是否理解呢？学生只要能举出例子来，就说明学生已经理解了。在教学中要让学生多举例子。有时记住一些例子也是不错的教学方法。四、情境是一把双刃剑案例有一次封闭赛课，有一位专家，出了这样一个题目质数与合数。把青年老师们关到房间里（通讯工具没收），独立备课。到了第二天用早餐的时候，一看这些青年教师一个个一脸疲倦的样子，眼睛里布满了血丝。专家就问了说：“昨天休息的怎么样？”老师们说：“别提了，一夜没睡好。”专家又问：“怎么没睡好呢？”有位老师就说了“不知道哪个出题的人，缺心眼，害得我一夜没睡好。”专家装不知道，又问：“这怎么会呢？这个内容又不是课程改革后新增加的，在过去传统教学中就有，数的整除，质数与合数。”那位老师就说“我一夜没睡好就是想创设一个情境，想不出来啊。”这时旁边有一位小伙子坦然自若的用着早餐。这个小伙子一定心里有底了。果然他上的课与众不同。赛课是借班上课。上课前要和学生互相交流一下，通一下感情，要近可能的和学生融洽。大约有5分钟的时间。老师和学生之间又是讲笑话，又是猜谜语，师生之间异常融洽。上课铃一响，老师突然脸一沉，桌子一拍，同学们不好了，恐怖分子来了。学生就紧张起来，恐怖分子在哪里。老师出示了一个课件，恐怖分子在人流量密集的大商场放置了一枚定时炸弹，还有20秒就要爆炸了。学生就更加紧张起来，黑猫警长获得情报，原来恐怖他子在炸弹上设置了密码。还有10秒钟就要爆炸了，教室非常的安静，在这千钧一发的时刻，黑猫警长又获得了非常重要的情报。原来炸弹的密码是100以内最大的质数。然后老师就板书课题， 同学们我们今天来学习质数与合数。由于情境非常恐怖，同学们又是那样投入，10秒钟又是那样快，学生们还没有学习100以内的质数，当然不知100以内的质数是什么，因此学生都在焦急的等待。老师视而不见学生的这种心情，他按照自己的教案安排的，开始讲课。什么 是整除啊，质数啊，合数啊就这样讲啊讲啊。课上10分钟还不到，有一位小男生实在忍不住了，就在老师让他回答问题的时候，答非所问，他很着急的说：“老老老师，我想知道那个炸弹炸了没有？”老师已经讲着数学了，而学生的思维还在炸弹那里。所以情境用的好，学生轻松开始学习，用的不好会阻碍学生的学习。从上述几个例子中我们会发现，教师创设一个情境后，孩子们都显得特别兴奋、争着要发言，课堂看似热闹却好象少了些数学味。我们还发现，有时老师往往想标新立异，把教材中的情境进行刻意地改动，有时还把握不准教材的意图。另外数学课程标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。在日常教学中，“生活经验”常常是被具体的“生活情境”所替代的。有时学生沉醉在游戏引起的兴奋之中，而把相关的数学思考抛在了一边。面对生活情境，学生往往被丰富多彩的外在的一面所吸引，而真正有价值的数学思考却湮没其中，不为学生所关注了，因此，情境创设应把握“度”的要求，避免“舍本逐末、喧宾夺主”的尴尬，使之回到理性上来，为数学教学服务。五、为学生提供一个解决问题的策略实际问题变化多端，把它们抽象成的数学问题，有的结构也比较特殊。因此，并非所有的题目一开始就能发现其中的数量关系的。教材如能为学生提供一些有效的解决问题的策略，将能有助于提高它们的解决问题能力和数学思维能力。近年来外国数学教材中对此有所反应，我国的新教材在这方面也开始作了一些有益的尝试，有的版本从第二学段开始，每册均设“解决问题的策略”一章，以提高学生运用策略解决问题的自觉性，有的版本到六年级末总复习时，对前面已学过的“策略”进行回顾和梳理，以体现解决问题策略的多样和灵活。解题策略应该包括解题方法，它又比解题方法更上位一些，解题策略应是在数学思想引导下得解题思路、方式和方法。1、演示与模拟：遇到某些数量关系比较隐蔽的问题，可以放手让学生自己采用模拟和演示的方式，让他们进入角色，了解题意。如:“姐姐和妹妹都有20张画片,姐姐送给妹妹3张后,妹妹比姐姐多几张?”可以请同桌两名同学合作,甲扮演姐姐，乙扮演妹妹，通过一送一接转化为一减一加，全体学生都会意会到“妹妹比姐姐多6张（而不是3张）”，并明白其间隐含的数量关系。中年级学生曾对下面的题目发生困惑：“有一座大桥长1550米，一列长100米的火车以15米/秒的速度行驶过桥，火车过桥需要多少时间？”缺乏生活经验的学生往往错列为“155015”，如果引导学生用短铅笔比作火车，用铅笔盒比作大桥，自己表演一下火车是怎样过桥的火车到什么地方才算全部过桥，他们就会很快明白为什么要把火车自身的车长也算进去，从而找到解题途径：（1550+100）15。对低年级儿童说来，最了解的是他自己的动作，通过学生的模拟和演示，把题目中的故事情节用他们自己理解的动作呈现出来，从而认识其中的数量关系，这是很有效的。2、画图：（1）画示意图：画示意图是低年级儿童学习应用问题采用的形式，比起模拟操作已抽象了一步，因为它“简缩”了题目中的次要成分，把主要成分全面而又直观地展示出来。下面是一位二年级小学生对解题思维过程和生动自白。题目是：“幼儿园老师给8个小朋友分苹果，平均每人分2个，一共分了多少个苹果？”这位学生说：“这道题看上去像除法，有平均分,可是最后又问一共,又像是乘法，我想不出来，就画图（如下）一看就是求8个2是多少，28=16（个）。可见示意图可以帮助低年级学生理解题意。（2）画线段图：线段图采用了数与形相结合得形式将事物之间的数量关系明显地表示出来，也是小学数学常用得一种解题策略。线段图可以使抽象问题具体化、复杂关系明朗化，为正确解题创造条件，尤其在学习分数、百分数应用问题时，学生只要把部分与整体的关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来，问题解决得任务便完成了一半。（3）画连线列举图：对一些渗透排列数学思考方法的实际问题，可以引导学生根据自己的生活经验，采用画连线的方法，作出有序的搭配，并一一列举出来。3、假设与替换：在解决一些较复杂的数学问题时，当已知条件与问题之间有着明显的空隙而不易探求时，可以对条件作出符合逻辑的假设，然后根据变化了的新条件进行推理，找出解决问题的途径。再进行假设和推理时，往往还可利用等量替换得方法球的解题得捷径。例：（图中画了1张桌子，周围放了4把椅子，作为1套）小芳家买了1套桌椅（如图）共用去了1040元。（1）1张桌子和4把椅子的价钱相等，求桌子和椅子的单价。若把1张桌子替换成4把椅子，则椅子单价为1040（4+4）=130（元）；桌子单价为1304=520（元）；同理若把4把椅子替换成桌子，则桌子单价为1040（1+1）=520（元），椅子单价为5204=130（元）（2）已知每张桌子比每把椅子贵390元，求桌子和椅子的单价。假设都买的是椅子（5把），则少花390元，椅子单价为（1040-390）5=130（元），桌子单价为130+390=520（元）；同理，假设都买的是桌子（5张），则多花了（3904）元，桌子单价为（1040+3904）5=520（元），椅子单价为：520-390=130（元）。4、尝试与猜测：当数学问题已难与原认知结构建立直接联系，并很难找到问题解决