概率与概率分布

简单的描述性统计只能对统计数据做比较肤浅的描述、显示。要想从中探索出规律性的东西，需要推断统计的方法。推断统计就是在搜集、整理观测样本数据的基础上，对有关总体作出推断。根据随机性的观测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事物作出的以概率形式表述的推断。即概率论与数理统计的内容。,第五章 概率与概率分布,本 章 内 容,5.1 概率基础 5.1.1 随机事件及其概率 5.1.2 概率的性质与运算法则 5.2 随机变量及其分布 5.2.1 随机变量 5.2.2 离散型随机变量的概率分布 5.2.3 连续型随机变量的概率分布,5.1 概率基础,5.1.1 随机事件及其概率 一、几个基本概念 1. 试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所进行的观察叫试验，把观察的结果叫做事件。,试验 试验结果（事件）,抛掷一枚硬币 正面，反面 对某一零件进行检验 合格，不合格 投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6 进行一场足球比赛 获胜，失利，平局,2、 随机事件（Random event） 在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件，叫做随机事件，也叫偶然事件。如掷硬币正、反面都可能出现也可能不出现。用英文大写字母表示，如A，B，C等。概率论主要研究对象为随机事件，简称“事件”。 3、必然事件（Certain event） 在相同条件下，每次实验一定出现的事件。用表示。 如：事件（点数小于7）在掷骰子中每次必然出现 4、不可能事件（Impossible event） 在相同条件下，每次试验一定不出现的事件。用表示。 如：事件（点数大于7）在掷骰子试验中为不可能事件。,5、基本事件（Elementary event） 简单事件。也叫样本点（Sample point）。一个事件不能分解成两个或更多事件。在一次试验中只能观察到一个且仅有一个简单事件。如掷硬币时，只能观察到2个简单事件“正面”或“反面”。 6、样本空间（Sample space） 一个试验中，所有基本事件的全体。如： =正,反, =1,2,3,4,5,6 事件可以象集合一样进行运算, 对事件的运算可以得到新的事件。 *物理学试验在相同的条件下重复时，会有相同的结果产生。而在统计学中，结果是随机决定的，即使试验在相同的条件下重复进行，也可能获得完全不同的结果。所以，统计学上的试验也称为随机试验。,二、事件的概率定义 事件的概率（Probability）：事件在试验中出现的可能性大小。事件A的概率用P(A)表示。对概率的理解有三种定义： 1、概率的古典定义（Classical method） 如果（1）某一随机试验的结果有限；（2）各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的比值。,例5.1在投掷骰子试验中, =1,2,3,4,5,6,试验结果有限,6个试验结果以均等的可能发生 P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6, 事件A=1,2,3,4,P(A)=4/6=2/3,2、概率的统计定义：相对频率法（Relative frequency method) 在相同条件下，随机试验次，某事件A出现次（），则比值m/n称为事件A发生的频率; 随着的增大,该频率围绕某一常数上下波动,且波动的幅度逐渐减小,趋向于稳定,这个频率的稳定值,即为该事件的概率,记为P(A)=m/n,例5.3 假设某个公司正在准备销售某一新产品,为了估计顾客购买此产品的概率, 进行了一次市场评估, 一共联系了400名顾客, 结果有100名购买了该产品, 而300人未购买。P（购买）100/400=0.25, P(不购买)=300/400=0.75。,、主观概率：主观法（Subjective method） 所谓主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。它是一个决策者根据本人掌握的信息对该事件发生可能性的判断。 有些情况下试验结果既不是等可能发生的，也没有相对频数的数据可用，这时要用主观法。,例5.4 国安队进行下一场足球比赛，获胜的概率有多少？ 获胜、失利、平局不一定是等可能发生的。此外，对于将要进行的比赛也没有相对频数的数据可用这时估计国安队获胜的概率，必须对其进行主观评价。,5.1.2 概率的性质与运算法则 1、概率的性质： （1）非负性。对任意事件A 0 P（A）1 （2）规范性。必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。P（）1，P（）0 （3）可加性。 若A，B互斥，则P（AB）P（A）P（B） 可推广到多个两两互斥的随机事件A1，A2，, A P(A1 A2 . A)=P(A1)+P(A2)+P(A),2、基本的概率关系 （1）事件的补(Complement of event) 给定一个事件A，它的补定义为:A样本空间中所有不包括在A内的样本点/基本事件 （）（ A） 例5.5 假设某采购部声称供货商运来的货物中无残次品的概率为90，利用补，推出货物中有残次品的概率为10.9=0.1,A,A,(2)事件的并 A和B的并(Union of A and B)是所有的属于A或B或同时属于二者的样本点构成的事件.记作AB,A,B,样本空间,(3)事件的交 A和B的交(Intersection of A and B)是同时属于A和B的样本点构成的事件。记作AB,A,B,加法公式： P（ AB）P（A）P（B）P（ AB ）,例5.6 某大型计算机软件公司，其人事部最近做了一项调查研究，发现在两年内离职的雇员中有30的人是因为对工资不满意，20的人是因为对工作不满意，12的人指出他们对工资和工作都不满意。那么在两年内离职的公司雇员中，其离职原因是对工资不满意或对工作不满意的概率是多少？ 解：A离职因为对工资不满意,B=离职因为对工作不满意, P(A)=30%, P(B)=20%, P(AB )=12%, 则P(AB)=P（A）P（B）P（ AB ） =0.3+0.2-0.12=0.38,(4)互斥事件（Mutually exclusive event） 如果两个事件没有公共的样本点,则称这两个事件互斥。,互斥事件的加法公式： P（ AB）P（A）P（B）,A,B,3、条件概率与独立事件 （1）条件概率(Conditional probability) 某个事件的概率经常会因为另外一个相关事件的发生与否而受到影响。 当某一事件B已知发生时，求事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P（A|B)。一般来说， P（A|B)P（A） 条件概率公式：,乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A)P(B|A) 例5.7 某报纸的发行部已知在某社区有84%的住户订阅了该报纸的日报。用D“某住户订阅了日报”, P(D)=0.84, 已经订阅日报的住户订阅其周刊(事件S)的概率为0.75, 即 P(S|D)=0.75, 求某住户既订阅了日报,又订阅了周刊的概率是多少? 解:P(SD)=P(D)P(S|D)=0.840.75=0.63,(2) 独立性（Independence) 独立事件(Independent events): 两个事件中不论哪个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，称这两个事件相互独立。 相依事件： 一个事件的发生与否会影响另一个事件发生的概率。 两个事件独立时，其条件概率等于无条件概率。 P（B|A)=P(B), P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B) 两个事件A、B是相互独立的，当且仅当，P(AB)=P(A)P(B),如果A1,A2,A相互独立,则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床0.9,乙机床0.8,丙机床0.85.若机床是自动机床且独立工作,求(1)在30分钟内三台机床都不需要看管的概率;(2)在30分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率。 (1)P( A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.90.8 0.85=0.612; (2)P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3) 0.90.8 (1-0.85)=0.108,互斥事件一定是相依（不独立）的,但相依的事件则不一定是互斥的; 不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的, 而独立的事件不可能是互斥的.,互斥性与独立性的关系:,（1）互斥事件一定是相依的,如果A、B两个事件互斥，则AB， P(AB)=0, 而P(A)P(B) 0, 所以， P(AB) P(A)P(B) ，即A、B是相依的。,（2）相依的事件不一定是互斥的,如在掷骰子试验中1,2,3,4,5,6 A=1,2,3,B=2,4,5, AB=2, P(AB)=1/6, P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4, P(AB) P(A)P(B),所以，A、B是相依事件， 又因为AB2 , 所以，A、B不是互斥的。 A=1,2,B=3,4,5,AB= , P(AB)=0, 而P(A)P(B)=(1/3)(1/2)=1/6,所以， P(AB) P(A)P(B) 所以，A、B是相依的，也是互斥的。,（3）不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的,例1中,P(A)=30%,P(B)=20%, P(AB)=12%, A、B是不互斥的，即相容的。而P(AB) P(A)P(B),所以，A、B是不独立的。 某人射击的命中率为90，A1表示第一枪命中，A2表示第二枪命中，A1A2表示两枪都命中，P(A1)=P(A2)=90%, P(A1 A2)=81%, P(A1 A2)= P(A1) P(A2)。这时A1、 A2是不互斥的，也是独立的。,（4）独立的事件不可能是互斥的,若两个事件A和B是相互独立的，则 P(AB)=P(A)P(B) 0, AB , 即A和B是不互斥的。,课堂练习 1、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是多少？ 2、设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发生的概率？ 3、某品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用到10000小时未坏的概率为1/2。现有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？ 4、下列电路图中A、B、C、D、E是同一型号电器件，该型号的电器件在一个月内不发生故障的概率是0.80，求一个月内该电路畅通并正常工作的概率是多少？,A,B,E,C,D,4、全概率公式及贝叶斯公式 (1)全概率公式 例5.9 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为5，4，2，各自的产量分别占总产量的25，35，40，将它们混在一起，求任取一个产品是次品的概率。 解：A1 “产品来自甲机床”; A2 “产品来自乙机床”; A3 “产品来自丙机床”;B=“取到次品”. A1 + A2 + A3= ,且A1 、 A2 、A3互不相容，B=B(A1 + A2 + A3)= BA1 + BA2 + BA3 P(B)=P (BA1) + P(BA2 )+P( BA3)= P(A1 )P(B| A1)+ P(A2 )P(B| A2)+ P(A3 )P(B| A3)=0.250.05+0.350.04+0.40 0.02=0.0345,设有n个事件A1,A2, An互不相容, P(Ai)0,i=1,2,n, 事件B满足:B A1+A2+ An,则,(2)贝叶斯公式 与全概率公式解决的问题相反，是在条件概率基础上寻找事件发生的原因.,设有n个事件A1,A2, An互不相容,P(Ai)0,i=1,2,n, 事件B满足:B A1+A2+ An,则,上面例5.9中,如果取到一件产品是次品,分别求这一次品有甲、乙、丙生产的概率？ 解：,课堂练习 某企业职工中小学文化程度的有10，初中文化程度的有50，高中及以上文化程度的有40。25岁以下青年在小学、初中、高中以上文化程度各组中的比例分别为20，50，70。从该企业随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中以上文化程度的概率各为多少？,5.2 随机变量及其分布 5.2.1 随机变量 1、随机变量的数量化 随机变量都可以用一个数量标识表示，便于数学上的处理。 如：（1）掷骰子试验，可能出现的点数1，2，3，4，5，6是数量标识； （2）检验产品合格,不合格 0,1变为数量化标识; 2、随机变量 随机变量是一次试验的结果的数值性描述。 随机事件AX P（X）P（A） 如：正, 反, 正X=x1=0 P(X=x1)=P(X=0)=1/2, 反X=x2=1P(X=x2)=P(X=1)=1/2,用X把试验所有可能的结果用数值标识列举出来,x1,x2,xn,而且具有相应确定的概率P(x1), P(x2), P(xn), P(x)为随机变量X的概率函数, X为P(x)的随机变量。,3、两种类型的随机变量 （1）离散型（Discrete） 随机变量X的所有值都可以逐个列举出来。可以有限也可以无限。,（2）连续型(Continuous) 随机变量X所有可能值不可能逐个列举出来，而是取数轴某一区间内的任意点，则该随机变量为连续型随机变量。,连续型随机变量的例子,5.2.2 离散型随机变量的概率分布 1、离散型随机变量的概率分布 一离散型随机变量X，可能取值,x1,x2,xn,相应的概率P(x1), P(x2), P(xn), P(X=xi)=P(xi)=pi ，表格形式为：,该表格形式为离散型随机变量X的概率分布(Probability distribution), p1+p2+pn=1,例5.10 某汽车公司一天中汽车销售量的概率分布,掷骰子试验的期望值：,某公司一日汽车销量的数学期望值:,2、方差与标准差 方差是随机变量与其数学期望的离差平均水平,用它来测定随机变量的变异程度或离散程度,是随机变量的另一个重要数字特征。等于每一个随机变量取值与期望值的离差平方之期望值。,若X是离散型随机变量，则,标准差,离散系数,方差,例5.11、一位投资者有一笔现金可用于投资，现有两个项目可供选择。项目A和项目B的资料如下表。比较哪个投资项目较佳。 项目A,项目B,解:先考虑两个项目的平均回报率，即数学期望值。通过计算可知它们的平均回报率相等。所以，有必要考察两个项目的投资风险大小。,项目A,方差2=(x-)2p(x)=2 标准差2 1/2 =1.414,项目B,方差2=(x-)2p(x)=1.25 标准差1.25 1/2 =1.12,项目A的标准差比项目B的大, 即前者的回报率的变化大于后者,稳定性小于后者,风险比后者大.所以,投资于项目B较项目A为佳。,例5.12 如果投资项目A的预期回报率为7，标准差为5；而投资B的回报率为12，标准差为7，问哪个项目的风险较大？ 解：如果两个项目的回报率（均值）相等，只要比较它们的标准差就能确定风险大小。本题涉及的两个项目的回报率不同，可以考虑用离散系数（变异系数）进行比较。 A的离散系数V0.05/0.07=0.714 B的离散系数V=0.07/0.12=0.583, 因此,A项目的风险较大.,3、二项分布和泊松分布 （1）二项分布(Binomial distribution) 条件:1)试验中包含了n个相同的试验; 2)每一次试验只有两个可能的结果,“成功”和“ 失败”; 3)出现“ 成功”的概率p是相同的,“ 失败”的概率q也不变; p+q=1 4)试验是相互独立的。 符合上述条件的n次重复独立的试验为n重贝努里试验(Bernoulli trials)或二项试验。 X表示n次重复独立试验中事件A（成功）出现的次数，,Cnxpxqn-x正是二项式(p+q)2展开式中的第x1项，所以，称随机变量X服从二项分布，参数为n,p, XB(n,p) 二项分布的期望值和方差： E（X）np D(X)=npq,例5.13 马丁服装店问题. 商店经理估计进入该服装店的任一顾客购买服装的概率是 0.30, 那么,三个顾客中 有 两个购买的概率是多少? 解: (1)试验包含了三个相同的试验,进入商店的三个顾客中的任一个即为一次试验; (2)每次试验都有两个结果:顾客购买(成功)或不成功(失败); (3)顾客购买的概率(0.30)或不购买的概率(0.70)被假设为对所有顾客都相等; (4)某个顾客的购买决定与其他顾客的购买决定独立. 所以满足了二项试验的属性.,第一个顾客,第二个顾客,第三个顾客,F,S,S,F,S,F,S,F,S,F,S,F,S,F,S=购买; F=未购买; x=购买的顾客数,结果 x值 (S,S,S) 3,(S,S,F) 2,(S,F,S) 2,(S,F,F) 1,(F,S,S) 2,(F,S,F) 1,(F,F,S) 1,(F,F,F) 0,马丁服装店问题的树形图,例5.14 已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地取三次，求在所取的三件中恰有两件次品的概率？如果无放会，结果又如何？ 解：如果有放回，那么三次试验的条件是完全相同的，符合二项分布的条件。每次试验取到次品的概率为 p=5/100=0.05, 设X表示3个产品中的次品数，XB(n,p). PX=2=C32(0.05)2(0.95)=0.007125. 如果无放回,每次抽到次品的概率就不一样,不能用二项分布来计算.可以用古典概率计算.,例5.15 有一份10道四择一的多项选择题的试卷，若考生对试题作完全猜测，问考生分别猜中8题、9题、10题的概率各有多大？至少猜中一题的概率又有多大？,例5.16 一份试卷100道四选一的多项选择题，每一题1分，考生答对了其中的80道，有20道不能回答，因而对这20道题作猜测，则猜测得分的范围有多大？,例5.17 有正误题10道题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是处于猜测因素？ 例5.18 有10道多重选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。问答对几题才能说不是猜的结果？,课堂练习： 1、用E字型视标检查儿童的视敏度，每种视力值（1.0，1.5）有四个方向的E字（共8个），问：说对了几个才能说真看清了而不是猜对的？ 2、今有四择一选择测验100题，问答对多少题才能说他的回答不是完全凭猜测？ 3、某篮球队员定点投篮的命中率为0.8，问该队员定点投篮10次，至少投中6次的概率是多少？,(2)泊松概率分布(Poisson probability distribution) 描述在一个指定的时间范围内或指定的面积或体积内某一事件出现的个数的分布。如 某种仪器每月出现故障的次数； 单位时间内到达某一服务柜台请求服务的顾客数； 保险公司每天收到的死亡声明的个数。 10公里的高速公路上需要修理的数目。 泊松试验的性质： 1）任意两个相等长度的区间发生一次的概率相等； 2）任意区间发生或不发生与否，与其它区间发生与否独立。,泊松分布的计算公式：,为给定的时间间隔内事件出现的平均数。 泊松分布的期望值和方差： E(X)= D(X)= ,例5.19 设某企业职工周一请事假的人数X近似泊松分布，且设周一请事假的平均数为2.5人, 求:1)X的均值、标准差； 2)在给定的某周一正好请事假是5人的概率. 解:E(X)=2.5, =E(X)=D(X)=2.5, =D(X)1/2=2.51/2=1.581,(3)二项分布的泊松近似 在二项试验中,当“ 成功”的概率很小,试验次数很大时,二项分布可近似等于泊松分布,在实际应用中,当p0.25,n20,np 5时,用泊松分布近似二项分布效果良好.,例5.20 计算p=0.01,试验次数n=250,x=3的二项分布的概率. 解: p0.25,n20,np =2500.01=2.55,用泊松分布近似计算,(4) 超几何概率分布(Hypergeometic probability distribution) 超几何概率分布与二项很相似。它们的主要区别在于，超几何分布中的各次试验不是独立的，而且各次试验成功的概率不等。 用M代表有N个项目的总体中成功的次数；用NM代表总体中失败的次数。超几何概率函数用来计算一个有n项的随机样本中，不重复选择有x次成功，n-x次失败的概率。,P(x)为n次试验中x次成功的概率; n为试验次数; N为总体中的元素个数; M为总体中代表成功的元素个数.,例5.21. 假设一个总体有10个项目组成,其中4项有缺陷,6项没有缺陷.一个容量为3的样本中包含两项有缺陷的概率是多少? 解:把有缺陷的项目定义为“ 成功”, N=10,M=4,n=3,x=2,例5.22 一个5人委员会,有3女2男组成, 从这5人中随机选择3人参加例会,求这3人中恰有两名女性的概率? 解:设选择中有女性的定义为“ 成功”,5.2.3 连续型随机变量的概率分布,随机变量X离散时, P(x)=P(X=x)为概率函数, P(xi)=pi=P(X=xi) 随机变量X连续时,不可能列出每个x对应的概率;而对应的是概率密度函数f(x) (Probability density function). 概率密度函数应满足两个条件: (1) f(x)0, (2),注意:f(x)不是概率, f(x)P(X=x), f(x)是概率密度函数; X为连续型随机变量时,P(X=x)=0,X连续时以曲线下面的面积表示概率。 X在a与b之间的概率为:,a,b,f(x),连续型随机变量的概率分布函数用F(x)来表示.,连续型随机变量的期望值和方差,1、均匀分布 连续型随机变量X在有限区间(a,b)取值，概率密度函数为：,a,b,1/(b-a),x,求：（1）概率分布函数； （2）期望值和方差,解：（1）,Xa时, f(x)=0, F(x)=0; ax b时，f(x)=1/(b-a),xb时，f(x)=0,所以,（2,2、指数分布 某电子装置，其寿命服从指数分布,(为寿命平均值),求：X的期望值和标准差。 解：,3、正态分布(Normal distribution) (1)定义及图形特点 如果随机变量X的概率密度是:,则称X服从正态分布,记作XN(,2),为随机变量X的均值; 为随机变量X的标准差; 为圆周率3.14159; e为自然对数的底2.71828.,正态分布的概率密度曲线,Inflection point,Inflection point,12,15,18,10,11,13,14,16,17,19,20,20,12,15,18,10,11,13,14,16,17,19,21,22,9,图形特点: 1) f(x)0,整个密度函数都在x轴的上方; 2)曲线对称,平均数,中数,众数三者相等,x= 处达到最大值,3)曲线的陡缓程度由决定, 越大,曲线越平缓; 越小,曲线越陡峭。X趋向于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 4)正态曲线下面的面积为1,平均数左右各为0.5; 5)正态分布曲线下,标准差与概率(面积)有一定的关系: 1 内,概率为0.6826; 2内,概率为0.95545; 3内,概率为0.9973,(2)标准正态分布 =0, =1时,有 相应的正态分布N(0,1)称为标准正态分布(Standard normal distribution). 通常用(x)表示概率密度函数,用(x)表示分布函数.,0.5,0,1,(x),(x),4,3,2,1,0,1,2,3,4,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 设 则,正态分布,标准正态分布,(3)正态分布表 即:标准正态分布函数(x)的数值表; 将一般正态分布化为标准正态分布,通过查表可解决正态分布的概率计算问题。使用正态分布表可作如下计算： 1)依据Z分数求概率; 如Z=1时,p=0.3413 2)知道概率求Z分数;如p=0.2517时,Z=0.68 3)已知概率或Z分数,求概率密度值f(x) 4)知道Z分数，求原始分数.,0 2.53 Z,.4943,求 P(0z2.53)=?,-1.14 0,求 P(z-1.14).,P(z-1.14)=.3729+.5000 =.8729,-1.14 0,.3729,.5000,求 P(-1.28z1.83).,-1.28,1.83,P(-1.28z1.83)=.3997+.4664 =.8661,-1.28 1.83,.3997,.4664,求 P(-2.54z-.42).,-2.54 -.42,P(-2.54z-.42) =.4945-.1628 =.3317,-2.54 -.42,整个阴影部分面积是：0.4945=P(0z2.54).,黄色部分面积是: 0.1628=P(0z.42).,0 z=c Z,已知阴影部分面积是0.4772，求标准分数c,0 z=2.0 Z,P(0z2.0)=.4772,例5.23 XN(0,1),求以下概率。 (1)P(X2) (3)P(-12)=0.5-P(0X 2)=0.5- 0.4773=0.0227 (3) P(-1X3)= P(0X3)+P(-1X0) =P(0X3)+P(0 X1)=0.4987+0.3413)=0.84 (4) P(|X| 2)= P(-2 X 2) = 2 P(0X 2)=20.4773=0.9545,0,1,P(z 1).,115,100,标准正态分布,P(x 115).,正态分布,因为P(z 1) = 0.8413, 所以, P(x 115) = 0.8413,相同,相同,例5.24、XN(100, 152), 求P(x 115),例5.25 XN(5,102) 求概率 (1) P(58) (5) P(7.1X8),解: (1),0.0478,.0478,标准正态分布,(2),正态分布,.1664,.0832,.0832,标准正态分布,(3),正态分布,标准正态分布,.1179,.5000,.3821,(4),.0832,.1179,.0347,标准正态分布,(5),例5.26 已知概率求