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1,第五章 量纲分析与相似原理,工程流体力学,2,本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。,3,第一节 单位和量纲,物理量一般具有单位，如直径d的单位可以是m，cm，mm等。,量纲/因次：定义物理量量度的性质和类型为量纲。如直径表示一种长度，具有长度的量纲。,单位决定度量的数量；量纲表示度量的性质。,基本量纲：流体力学的基本量纲有，长度、质量和时间。分别以L、M和T表示。与温度有关时温度的量纲,导出量纲：其它参数的量纲由基本量纲组成，称为导出量纲。,4,量纲公式：dimx=,当,时，为无量纲量。无量纲量数值的大,小与所采用的单位制无关。且可进行超越函数的计算。,对于动力粘度：,dim =,即1，1，1,二 量纲和谐原理,凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。否则无意义。 在量纲和谐的方程式中，其系数和常数也应该是无量纲的。若为有量纲，则可进一步进行分析。,5,第二节 相似性原理,表征 流动 过程 的物 理量,描述几何形状的 如长度、面积、体积等,描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等,描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等,按性质分,几何 相似,运动 相似,动力 相似,流 动 相 似,应 满 足 的 条 件,6,一 几何相似 熟悉的几何相似，如相似三角形。 相似不是两个数的简单的比较，而是相同类型的数的比值相同，包括多组数的比。 几何相似指比较的对象具有相同的形状，但大小不同。 规定：以下角标m表示模型；p表示原型 l 相应部位的长度 特征长度 对应的夹角。,7,长度比率：,面积比率：,体积比率：,8,二 运动相似 流场内各处速度的方向相同，大小成比例，流场和流线相似。,速度比率：, 特征速度,时间比率：,如流过相似长度所用的时间,加速度比率：,9,体积流量比率：,或,三 动力相似 受到的同名力，方向相同，大小成比例 对于任一运动的质点，设想在该质点上的惯性力与质点所受到的各种作用力相平衡（或质点在除了惯性力的其它作用力下运动），这些力构成一封闭的力多边形。从这个意义上说，动力相似表征为流体相应点上的力多边形相似。相应边（即同名力）成比例。,10,F 粘性力；,Fp 压力；,FG 重力；,FI 惯性力；,FE 弹性力；,F 表面张力力,四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。,11,第三节 相似准则数,一 流动相似,两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比率要满足一定的约束关系，这种约束关系称为相似准则。,作用在流体质点上的力可分为两类：一类是企图维持原有运动状态的力，如惯性力FI；另一类是企图改变其运动状态的力，如重力FG、粘性力F、压力Fp等。,流动的变化是这两类力相互作用的结果，即惯性力与其它各种作用力相互作用的结果。故各种力之间的比率应以惯性力为一方来相互比较。在两个相似的流动中，这中比率关系应保持固定关系。,12,惯性力：,惯性力比率：,密度比率,若有某一企图改变运动状态的力F，两个流动相似，F之比为,据动力相似，,即,或,为无量纲数,13,定义：, 牛顿数,此式表明，两个流动相似，牛顿数Ne应相等。这是流动相似的重要准则，称为牛顿相似准则。,问题（Q）：两个流动相似，要求各种企图改变其流动状态的力和惯性力都维持相同的比率。实际上这很难做到。 解决（R）：仅考虑某一起主导作用的力相似。,相似准则数。,14,二 相似准则数,依据：原型与模型牛顿数Ne相等,几种力的表达式：, 压力, 重力, 粘性力, 弹性力,Ev 弹性模量，Pa, 表面张力,15,（1）欧拉数（Eu）,若总压力起主导作用，则F = Fp 。作为分子代入牛顿数得,Eu 表示总压力与惯性力的比值。,（2）弗汝德数（Fr）,若重力起主导作用，则F = FG 。作为分母代入牛顿数得,Fr 表示惯性力与重力的比值。,16,（4）马赫数（Ma）,弹性力起主导作用，则F = FE，作为分母代入牛顿数得,Ma表示惯性力与弹性力的比值,（3）雷诺数（Re）,粘性力起主导作用，则F = F，作为分母代入牛顿数得,Re表示惯性力与粘性力的比值,17,（5）韦伯数（We）,表面张力起主导作用，则F = F，作为分母代入牛顿数得,We表示惯性力与表面张力的比值,讨论： （1）对于某一流动，具有代表性的物理量称为定性量，或特征物理量； （2）Re、Fr和Eu应用较为广泛； （3）气流速度较大，接近或超过音速时，要考虑Ma；,18,讨论： （4）流动规模较小，表面张力显著时，要考虑We； （5） 对于不可压缩流体的恒定流，一般只要同时考虑满足Re、Fr和Eu，即粘性力、重力、压力和惯性力所构成的封闭多边形相似； （6）一般情况下，压力为待求量，对应Eu。因此，惯性力、粘性力和重力相似时，压力自行相似。所以，Re、Fr为独立准则数，而Eu为导出准则数，即,19,Re、Fr和Eu的选择 Re：管内流动、绕流； Fr：明渠流动、堰流、孔口出流； Eu：要求流动压差。 Ne：求作用力,20,第四节 近似模型试验,相似性原理的一个目的：模型实验，做实验前先进行上述分析工作，指导实验。 模型实验：根据相似性原理，将需要进行实验的实际流动区域作成相似的小比尺的模型，根据模型实验的结果，推测原型可能发生的现象。,三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr,Eu可由Re、Fr导出。,故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。,21,分析Re和Fr,首先，,由Frm = Frp 得,然后，,22,由Rem = Rep，得,假设为同种流体，,从而，,此时模型与原型尺寸一样，即为原型实验。 因此，模型实验只能做到近似相似。,解决：保证起主导作用力的相似，忽略次要力相似。,23,例 一桥墩宽1.22m，长3.5m，平均水深2.74m，采用模型比为1/16进行实验。模型中水流速度为0.76m/s时，实测桥墩模型受水的作用力为4N，求：（1）实际水流速度；（2）桥墩所受水流作用力。,解：主要作用力为重力和压力，决定性准则数为Fr。,（1）由重力相似有,因,，故,24,（2）由压力场相似有 Ne,因,，则,25,用途：量纲的一致性，将方程表示成无量纲形式； 降低变量个数，简化分析。,一 瑞利法,要点：以指数形式表示变量之间的关系，根据量纲和谐原理确定指数。,第五节 量纲分析法,确定分析的问题的核心，找出影响参数，分析函数关系的形式。,26,例 已知不可压缩粘性流体在管内稳定等温流动，其压降p与流速u，管内径d，管长l，流体密度，流体动力粘度，管壁粗糙度K等有关。试确定其函数关系。,解：列出全部物理量（题干已给出），写成指数形式【第一步】,写出量纲关系式【第二步】,据量纲和谐原理得【第三步】,M:,L:,T:,27,三个方程，6个未知数，得出不定解。 【第三步】,代回指数得,将相同指数归纳成无量纲准则数形式,或,28,或,式中，无量纲常数k及指数a3、a5和a6可由实验确定。,29,瑞利法的具体步骤：,（1）列出影响物理过程的全部物理量，并写成指数形式。【要找准影响因素】,（2）写出量纲关系式,（3）根据量纲和谐原理，比较量纲。,30,（4）列出指数关系式，并确定指数。若有m个方程则可确定m个指数，将指数回代入上式得到需要的物理方程。,（5）将得到的物理方程进一步整理成准则数方程。,上例可看出：基本量纲有3个，物理量有7个，得到相似准则数有4个。,31,2 定理,定理：在一个物理过程中，如果涉及到n个变量，并包含有m个基本量纲，则这个物理过程可由用n个物理量组成的nm个无量纲变量来描述。,这些无量纲变量为：,若物理过程的方程式为,则可写成无量纲方程为,32,具体步骤：,（1）找出所有的主要变量（n个），列出函数关系。,或,（2）分析变量的量纲，确定其中包含的基本量纲（m个），则可构成nm个无量纲变量。,（3）m个基本变量：质量，几何结构和流体运动，如,（4）用这m个基本变量与剩下的（nm）个物理量组合成无量纲量,（5）由量纲和谐原理确定（nm）个无量纲准则数。,（6）将待求函数关系式写成相似准则数之间的待求关系式。,33,例 粘性流体宗掠平板时，影响板面粘性切应力w的因素有：来流速度u，距平板前缘的距离x，流体密度和动力粘度。试用 定理建立方程。,解：该过程的函数关系为：,五个