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文档简介
CH3 导数和微分,3.1 导数的概念 3.2 求导法则 3.3 高阶导数 3.4 隐函数的导数 3.5 微分 3.6 导数概念在经济学中的应用,一、本章重点概念,1、导数反映函数值随自变量变化快慢程度的函数,、微分函数改变量的线性主部,二、微分学的两大创始人,1、Newton运动学 变速直线运动的瞬时速度,、Leibniz 几何学 平面曲线的切线斜率。,3.1 导数的概念,引例(问题的提出) 导数的定义 导数的几何意义 函数的可导性与连续性的关系 小结,一、导数的定义,Def:,回顾:变量的改变量(增量),注,函数的增量可以为正的、负的,也可是零。,例1.变速直线运动(自由落体运动)的瞬时速度问题,位移变量相对于时间变量的平均变化率,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,例2. 曲线的切线斜率问题,共性:,为在一点函数增量与自变量增量之比的极限 .,1.定义3.1:点导数的定义,切线方程为,法线方程为,2.导数的几何意义:,说明,2注意变量符号选择的不同,有 导数的等价定义:,步骤,例1,解:,由定义计算函数y=f(x)在点 处的导数的三个步骤:,解:,例2:求下列极限,解,例3: 求曲线 在(1,1)点处的切线方程和法线方程。,右导数,二、单 侧 导 数(左右导数),左导数,分段点处可导性讨论,f(x) 在 x=0 连续,不存在,,解,例.,可导直观的几何意义:光滑,判断f(x)=|x|在x=0处的可导性和连续性。,连续。,三、函数可导性与连续性的关系,不连续必定不可导!,补充:连续函数不可导例子:,连续不可导的各种图示,某点的导数,定义 几何意义 分段函数分段点按照定义进行可导性的讨论,注意,2 导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,四、导函数定义,基本初等函数的导函数:,例:,解,由定义计算函数y=f(x)在点x处的导数:,解:,解:,解:,解:,小结,1 导数的实质: 增量比的极限;,3 导数的几何意义: 切线的斜率;,4 函数可导一定连续,但连续不一定可导;,5 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6 判断可导性,不连续,一定不可导.,
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