《D23无穷大量》PPT课件.ppt

,第二章,二、Stolz定理,一、无穷大量,第三节,无穷大量,一、 无穷大,定义2 .,对数列,若对,则称,为无穷大量，,记为,若n充分大时，,则称,为正(负)无穷大量，,记为,的无穷大,称为不定号无穷大。,例如：,正无穷大量。,负无穷大量。,不定号无穷大量。,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述数列的一种状态.,2. 数列为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 数列,但,所以,时 ,不是无穷大 !,例 证明,是正无穷大量。,证：,要对任意给定的M0，,证明有N，当nN时，,可令n3，,这样分母可用2n代替，,同时分子中有,故可得估计式,故可取N=max3,4M,当nN时数列大于任意给定的M,即此数列为正无穷大量。,注：此处所用方法与用数列极限定义证明完全类似.,例 证明,是正无穷大量。,证：,当n5时有：,故对任意M0,取N=max2M,5,当nN时有,即,是正无穷大量。,例 讨论极限,其中k,l为正整数，,解：,由于,可以得到,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,例,例 设,证明数列,发散。,证法1(Oresme)：,由不等式,可得到：,可由数学归纳法得出,由此可知,无上界，即发散。,由对任意正整数n有,因此得,于是有,依次下去可知数列,发散。,证法3：反证法。,设,收敛，,记,分拆,其中,由,则有,由此又可得出,故它们收敛到,同一极限是不可能的。,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.,说明:,性质1.,有限个无穷小量之和(差)仍是无穷小量。,注意：,无限个无穷小量之和未必是无穷小。,例如：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质2.,两个正(负)无穷大量之和仍是正(负)无穷大量。,注意：,必须是同号无穷大量之和。,性质3.,无穷大量与有界变量之和仍是无穷大量。,性质4.,无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。,推论1.,常数与无穷小量之积仍是无穷小量。,推论2.,有限个无穷小量之积仍是无穷小量。,思考：,无限个无穷小量之积是否是无穷小量？,答：不一定,例如：,构造一列序列a(k,n):,则第一个序列为：,第二个序列为：,第三个序列为：,第四个序列为：,每一个k固定的序列a(k,n)都是无穷小量。,但它们的无穷乘积,是一个恒为1的序列。,即无限个无穷小量之积未必是无穷小量。,例 证明,证明：,放大：上式,则对任意,只要,故取,当nN时，,由无穷小与极限关系， 此式应为无穷小。,此处放大时相当于无穷小加1，即不再是无穷小,注：适当放大找N必须保证不等式左端为无穷小。,例 若,证：,令,则,为无穷小量。,于是,由Cauchy第一极限定理知第二、三项趋于0。,现证第四项也趋于0。,由于,为无穷小量，,故,有界，,即,使得,这样有,即第四项亦以0为极限，,从而有,Stolz定理 ：,设,是单调增的正无穷大量，,且有,则,证：,先考虑a=0的情况。,由,可知,又由,是正无穷大量，,故可设,于是有,不等式两边同除以,得,对固定的,又可取到,使得,从而,即,若a是非零有限数，,令,于是由,得到,从而,若,则,即,单增。,又由,可知，,是正无穷大量。,对,应用前面结论，,得到,因此,类似可证,时情况。,Stolz定理,设,是单调减的无穷小量，,穷小量，且有,也是无,则,证：,只对有限的a作证明。,由已知有,再由,任取mn，并将上述不等式中的n换成n+1，,直到m。,再将这些不等式相加可得,也就是,令,即命题成立。,例 设,求极限,解：,令,由Stolz定理有,从而得到,内容小结,1.无穷大的定义,2. 无穷大与无穷小的关系,3. Stolz定理,Th2,思考与练习,1. 正无穷大数列是否一定单调增加？,不一定