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文档简介

,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,*四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表),又如,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,注,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,作业,P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12,习
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