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,第七章,山东交通学院高等数学教研室,第二节 数量积 向量积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,行列式：,一、二阶行列式,解方程组,记,则,类似地,消 得,二、三阶行列式,按第一,行展开,如,一、两向量的数量积,沿与力的夹角为,的直线移动,1 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,引例,故,2 性质,注：,3 运算律,(1) 交换律,(3) 结合律,(2) 分配律,证明： 当,时, 显然成立 ;,例1 利用向量证明三角形余弦定理,证明:,则,设,如图,4 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的流体体积:,的夹角为,且,二、两向量的向量积,引例,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,设O 为杠杆L 的支点,1 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,大小 :,向量积 ,引例中的力矩,几何意义: 右图平行四边形面积,S,2 性质,证明:,结论显然成立,（3）,（2）,（1）,4 向量积的坐标表示式,设,则,3 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,例4 已知三点,角形 ABC 的面积 .,解: 如图所示,求三,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,2 向量关系:,思考与练习,1 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,证明:,所以,由三角形面积公式,备用题,1 已知向量,的夹角,且,解：,在顶点为,三角形中,
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