《D83复合求导》PPT课件.ppt

一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、复合函数链式微分法 及全微分形式不变性,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 多元函数微分法,二、隐函数微分法,1、多元复合函数求导的链式法则,(链式法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广：中间变量是多元函数的情形,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,可见x同时是直接变量和间接变量时,注意点：自变量既是直接变量也是间接变量时 符号的理解和使用。,如,则,练习(p. 97, ex.1(4), 1(7),1(4),1(7),解：1(4),1(7),解：1(7),其中 具有二阶导数，,求,解：令 uy/x, v 2xy,则z y(u)+lnv,所以,例6 设,例7 设 z=f (x+y, xy2), 其中f 具有二阶连续偏导数，,求,解：,则z f(u, v),所以, fu, fv,(二阶偏导连续),令 ux+y, vxy2,2、微分形式不变性,可微，且其全微分,无论 u, v 是自变量还是中间变量,全微分形式不变性。,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 8,利用微分形式不变性计算全导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1 方程何时确定隐函数及隐函数如何求导,2 方程组何时确定隐函数及隐函数如何求导,二 隐函数微分法,如: F(x, y)0在点P0 (x0, y0)附近能否确定一个函数y f(x), 如何计算f(x)?,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,则方程F(x, y) 0在 x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y f (x) , 满足条件y0 f (x0), 并有连续导数及,(隐函数求导公式),定理2 设, 具有连续的偏导数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求导,在(x0, y0)的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9* 验证方程,在点(0, 0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ,由隐函数存在定理知,确定可导的隐函数,则,在 x 0 的邻域内方程可,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并求,式(1)两边对 x 求导, 得,式(2) 再对 x 求导, 得,隐函数求导的另一方法方程两边求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),(1),将x 0 代入,从得,得y 0，,进而得,两边对 x 求偏导得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 z f(x, y)是由方程 F(x, y, z)0在点P(x0, y0, z0) 附近确定的隐函数，,问题：考察方程 F(x, y, z)0确定隐函数 z z(x, y),推论1,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足, 在点,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10* 设,例10* 设,解法 利用隐函数求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,即,对方程两边求微分:,解：利用微分形式不变性。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,设F( x , y) 有连续偏导数,已知方程,2、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的关于u, v的雅可比( Jacobi )行列式.,以两个方程确定两个隐函数为例 ,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,推论2,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11*设,解:,对方程组两边微分,利用微分的形式不变性,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由消元法，x(1) y(2), x(2) y(2)，依次得,得du, dv的方程组,(1),(2),由此可即得待求偏导数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题一,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,(99考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,机动 目录 上页 下页 返回