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,常系数非齐次线性微分方程的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.8,8.8.1,第八章,8.8.2,其中,为常数,二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.8.1, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对二阶非齐次常系数线性微分方程：,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.8.2,其中,是常数，,分别为l 次、n 次多项式。,型,(证明从略),例3.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P371 1 (1) , (3) , (5) , (7) ;,习题课2 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特
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