八年级下四边形综合应用示例1证明与计算

八年级下四边形综合应用示例1证明与计算与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE(不需证明)(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而HFE=HEF，再利用平行线的性质，可证得BME=CNE)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G， 若EFC=600，连结GD，判断AGD的形状并证明ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGE2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？ AHCDE图3BFGMNG图2AHCDEBFNM图1AHC(M)DEBFG(N)3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？FBADCEG图FBADCEG图 DFBACE图(练习)4.已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； 图图（2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 线段间和差倍等量关系，这类题往往图看上去复杂，需要静心读图；截长补短为最常用手段；特别要留意30 ，45 这类角度；以及图形的对称性。5. 如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F. (1) 求证：DEBF = EF(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由 (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）6. 如图1，在中，于点，恰好为的中点，.（1）求证：（2）如图2，点在线段上，作于点，连结。求证：；*（3）请你在图3中画图探究：当为线段上任意一点（不与点重合）时，作垂直直线，垂足为点，连结。线段、与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。7. 如图，已知正方形ABCD，G为对角线CA延长线上一点，GFGD。（1）求证：GFGD；(后图为备用图)（2）延长FG交BA的延长线于E点，EM平分BEF，交GD于H点，BF于M点。求证：AECM2GH。(练习)8. 在正方形ABCD中，点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点P从点A出发，沿着BA的延长线运动，点P与点Q的运动速度相同，当动点P停止运动时，另一动点Q也随之停止运动。如图，PF平分角BPQ，交BD于点F，过点F作FE垂直PQ于E.请证明：EFPQ=AB.与计算相关，往往会涉及到先证而后算。9. 如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若FAH=45，证明：AG+AE=FH；(后图为备用图)（3）若RtGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。10. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A90，ABAD6，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连结EF（1）证明：EFCF；（2）当AE2时，求EF的长11.如图1、2是两个等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。请用一个等式表示，之间的数量关系，不必证明；若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。DACB图3BAC图2D图1DBFE图5CDBACFEA图4如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。NFMEBDAC*12.(1)如图，求。(2).如图，E、D分别在CA，AB的延长线上， ，求。练习:1. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上的任意一点（点E不与点C、D重合）以点A为旋转中心，将ADE旋转至ABF的位置作EAM=，AM交DC的延长线于点M，连结MF(1)求证：MD = MF+BF；(2)若正方形ABCD的边长为3，DE=1时，求MF的长2. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC12，E是AB上一点，且DCE45，BE4，求DE的长B CA D E 3.如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形（1）如果，当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 _ ，线段的数量关系为 ；当点在线段的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；FD图3ABDCE图2ABDECF图1ABDFEC（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由 4.如图，在内有一点E，如果满足EDA90，EBCEDC，试问是否有如BE相等的线段？并说明你的理由。5. 在RtABC中，ACB=90. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；备图*6. 将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中BAC=，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，EFD