电路分析基础第七章2006级ppt课件

2019/5/13,1,第七章 一阶电路,分解方法在动态电路分析中的应用（B） 零输入响应（B） 零状态响应（B） 线性动态电路的叠加原理（B） 分解法和叠加法的综合应用-三要素法（A） 微分电路与积分电路（B） 计划学时：4+,2019/5/13,2,第七章 一阶电路,一阶电路：只含一个动态元件，可用一阶微分方程来描述的线性非时变电路。上述所指的一阶微分方程是指：线性常系数一阶常微分方程。,71 分解方法在动态电路分析中的运用,一阶电路的分解方法： 把一阶电路看成由两个单口网络N1 和N2组成，N1含所有的电源（独立源和受控源）及电阻元件，N2只含一个动态元件（C或L） 。,2019/5/13,3,（1） 因N1可用戴维南定理或诺顿定理等效，所以可得到下图所示的戴维南等效电路。 利用KVL： UR0(t)+Uc(t)=Uoc(t) 由元件VCR: UR0(t)=R0i(t) i(t)=CdUc/dt,1 、动态元件为电容的情况,若给定初始条件Uc(t 0)以及tt 0时的Uoc(t) 或 isc(t)就可求得tt 0时的Uc(t).一旦求得Uc (t)，可用置换定理由Uc(t)置换电容，就可用电阻电路的分析方法求解tt 0时的各支路电压，电流。,（2）同理诺顿定理等效电路可得：,（1）当N1用戴维南定理等效时如右图。 由KVL: UR0(t)+UL(t)=Uoc(t) 由元件VCR: UR0(t)=R0iL(t),2.动态元件为电感的情况,（2）当N1为诺顿等效电路时,若给定初始条件iL(t 0)以及tt 0时的Uoc(t) 或isc(t)就可求得tt 0时的iL(t).一旦求得iL (t)，可用置换定理由iL(t)置换电感，就可用电阻电路的分析方法求解tt 0时的各支路电压，电流。,结论：分析一阶电路最关键的步骤是列写微分方程, 求解出Uc(t) 、 iL(t)。然后利用置换定理，就可用电阻电路的分析方法求出其它变量。,2019/5/13,6,72 一阶微分方程的求解,设一阶微分方程,初始条件为：,求解微分方程就是要找到一个(t)在所有tt0时刻满足上面两式。,2019/5/13,7,猜试法 需对解答的形式作出猜测后，再进行求解。 步骤： (1)线性微分方程的解的结构 如7-8所示的非齐次线性微分方程，其通解(t)由两部分组成，即：,h(t)是(7-8)式对应的齐次方程 的通解。,p(t)是非齐次方程的一个特解。,2019/5/13,8,(2)其次方程通解h(t)的求解 设解为,每项除以Kest，得,所以s=A称为微分方程的特征根或固有频率。因此，,K为任意常数，可由初始条件确定。,带入原方程 ，得,2019/5/13,9,(3)非齐次方程的特解p(t)的求解 应根据输入函数x(t)的形式假定特解p(t)的形式，可按下表进行：,以特解p(t)带入原方程，用待定系数法，确定特解中的常数Q等。,2019/5/13,10,(4) h(t)中常数K的确定,根据初始条件,代入上式可得：,由此可确定常数K，从而求得非齐次方程的解答。,2019/5/13,11,例7-1 求解微分方程,2019/5/13,12,1.换路及换路定则 1)换路的概念 t0时，S1一直闭合，S2打开, 电容电压Uc=US , ic=0 t=0时, S1打开，S2闭合， 若S1,S2同时动作，则开关的动作就叫做“换路”。,73 零输入响应,换路后，电容通过R放电，Uc逐渐下降，一直到：Uc=0, i(t)=0. 我们把上述电路中Uc=US ， ic=0 和 Uc=0, i(t)=0.的状态称为稳定状态，简称稳态,两个稳态中间的过程（Uc下降的过程）称为过渡过程。因这个过程很短，也称为瞬时状态，简称瞬态或暂态,2）换路定则 a. 若电容电流为有限值，则换路后一瞬间的电容电压等于换路前一瞬间的电容电压，表示为：Uc(0-)=Uc(0+) b. 若电感电压为有限值，则换路后一瞬间的电感电流等于换路前一瞬间的电感电流, 表示为:iL(0-)=iL(0+).,2019/5/13,14,2、RC电路的零输入响应,零输入响应：电路在没有外加输入时的响应。它是由非零的初始状态引起的Uc(0-)或iL(0-),由上图所示的电路换路后，等效为下图所示的电路。按下图，列出t0 时的电路方程为：,t0,初始条件为：,特征方程为：,特征根为： S称为电路的固有频率。,它是随时间衰减的指数函数。,其波形如下图所示。,2019/5/13,16,其电流,但换路时电流产生了跃变：,t0,它也是一个随时间衰减的指数函数。如下图所示。,结论：在RC电路中，其零输入响应 是随时间衰减的指数曲线，衰减的快慢取决于RC的大小。,定义：时间常数 ， 单位为S（秒） = RC。单位：R为 ，C为F 越小，电压、电流衰减的越快， 越大，电压、电流衰减的越慢。,2019/5/13,18,t0时，S1 与a端相连，S2 打开,3、RL电路的零输入响应,此时L由Is供电,t=0时， S1 投向c， S2 同时闭合。,t0后， 将逐渐减小到零。,右图所示电路,t 0时，由电路列出方程：,初始条件：,t 0,特征根为：,是电路的固有频率,及 的波形与RC电路的相似。,特征方程为：,为该电路的时间常数,t 0,2019/5/13,20,结论：与RC电路一样， 都是随时间衰减的指数曲线，越小， 衰减越快， 越大，衰减越慢。,越小，则L越小，L小储能少，通过电阻消耗储能时间短； R越大（ 越小），电阻功率越大，消耗储能时间就短。 PR(0)=UL(0)iL(0)=i0R, i0不跳变,讨论题： 从电路理论方面解释为什么越小u(t)、 i(t)衰减越快,而越大，其衰减越慢？,零输入响应的形式可表示为：,2019/5/13,21,例7-3 电路如图7-10所示，已知R1=9,R2=4 , R3=8 , R4=3 , R5=1 . t=0时开关打开，求：uab(t)，t0,解 t=0- 时，uc(0-)=10V, ic(0-)=0; t=0+ 时，由于uc不能跃变，uc(0+)=uc(0-)=uc(0)=10V,图7-10 例7-3,2019/5/13,22,cd端右边网络的等效电阻为：,进而求得,用电压为uc(t)的电压源置换电容后，得电阻电路如上图所示。,2019/5/13,23,故得：,2019/5/13,24,零状态响应：初始状态为零的情况下，由激励所产生的响应。 本节只讨论恒定激励下，一阶电路的零状态响应。,7-4零状态响应,2019/5/13,25,右图中，开关K打开之前（换路前）， 电流源（书中是电压源）的电流全部流 过短路线。,t=0时，K打开，Uc(0+)=Uc(0-)=0（亦即零状态）,下面讨论Uc(t)在 t0时的变化情况：,因为Uc(0+)=Uc(0-)=0，所以UR(0+)=0 则t=0+时，电流源的电流全部流向电容，给电容充电，电阻电流为零。 ( Uc(0+)=0 =UR(0+)=0 =IR=0 ),1、RC电路的零状态响应,随着Uc(t)增大，IR=Uc/R增大，Ic =Is-IR下降，一直到IR 趋近于 Is , Ic趋近于 0 ，电容停止充电。此时 Uc = RIs，进入稳态。,由上图可列出其电路方程为：,Uch:为齐次微分方程的通解; Ucp:为非齐次微分方程的特解。,Ucp=Q=RIs,上方程是一阶常系数线性非齐次微分方程，它的解由两部分组成， Uc=Uch+Ucp,因为Is是常量，所以可认为Ucp=Q，将Ucp=Q代入微分方程可得:,1）先求齐次微分方程的通解,2）求非齐次微分方程的特解,代入初始条件，Uc(0)=0, 得： Uc(0)=K+RIs=0, = K= -RIs,上式便是电容电压的零状态响应。,根据零状态响应Uc(t)，可画出其随时间变化的曲线。如下图所示。,故,2019/5/13,28,2 RL电路的零状态响应,右图中K闭合前, 即 t0时，iL(0-)=0 t=0时， K闭合, iL(0+)=0, （分析暂态）,列出电路方程为：,其中 为时间常数,iL(t) 的波形与RC电路相似。,1)、根据戴维南定理及诺顿定理，一阶电路可表示为下图,3、结论,其中：含C的电路中 ， 含L的电路中 和 分别为换路后的Uc和iL的稳态值,今后求一阶电路的零状态响应时可不去求解微分方程，直接利用上两式。,则其零状态响应分别为：,2019/5/13,31,固有响应：齐次微分方程的通解。形式为 当t=4时认为进入稳态，t增大，固有响应减小，固有响应又可称为暂态响应,强制响应：非齐次微分方程的特解。形式与输入激励相同 如果激励为常量或周期函数，强制响应就是电路的稳态响应,我们认为，零状态响应可由固有响应和强制响应组成， 亦即可认为，零状态响应可由暂态响应和稳态响应组成。,3）零状态响应与激励之间存在着线性关系。 若有多个独立源可利用叠加定理。,2） 说明几个概念,2019/5/13,32,例7-4 电路如图7-19所示，开关在t=0时打开，已知uc(0)=0， 求 uc(t), i(t) 和 ic(t).,图7-19 例7-4,解:,求零状态响应可直接利用公式:,电路的时间常数=RC,到达稳态后，电容相当于开路，其两端电压为:,故得:,或：,ic(t).,2019/5/13,33,例7-5 图7-20（a）所示电路在t=0时开关S闭合， 求：iL(t), i(t), t0.,解： (1) 求iL(t). 为此可用戴维南定理将原电路化简为图7-20（b）所示电路，其中：,故得 =L/R0=10/5=2s,2019/5/13,34,(2)求i(t) 利用图7-20(a),设想开关S闭合,电感用电流源 iL(t)置换，运用网孔法求解i(t)。网孔电流按支路电流 iL(t)和i(t)设定，可得网孔方程：,解得,7.2i(t)+1.2iL(t) =18,2019/5/13,35,7-5 线性动态电路的叠加原理,1、叠加原理内容: (1)任一线性动态电路中，全响应=零输入响应+零状态响应 (2)零输入响应线性 (3)零状态响应线性,零输入响应的形式可表示为：,它是由初始状态引起的，其中y(0)代表响应的初始值。无论是状态 变量还是非状态变量上式均成立。 所谓零输入响应线性是指响应与初始状态的比例性，因一阶电路只 有一个初始状态，所以无叠加性可言。,2、零输入响应线性,2019/5/13,36,零状态响应的形式可表示为：,它是由某一独立源引起的，其中y()代表响应的直流稳态值。只有状态变量满足上式。 所谓零状态响应线性是指响应与某一输入的比例性和众多输入的叠加性。,3、零状态响应线性,若电路的初始状态或输入有变化，只需改变对应的零输入响应分量或零状态 响应分量即可。,例7-7 电路如图7-24所示,开关闭合前电路已处于稳态,t=0时开关闭合, （1） 求uc(t), t0。（2）若12V电源换为24V电源, 求uc(t), t0,解：,零输入响应的形式为：,a)求t0 时的零输入响应uc(t) :,先求解（1）,t0,2019/5/13,38,R0为开关闭合时,对电容两端的等效电阻(图7-26),由于t=0-时电路处于直流稳态，电容相当于开路,得电路如图7-25所示.,图7-26,2019/5/13,39,b)求 t0 时的零状态响应uc(t) : 开关闭合时的电路如图7-27(a)所示, 运用戴维南定理可得图(b)所示电路,2019/5/13,40,根据叠加定理,全响应,其波形图如下图所示.,2019/5/13,41,(2)若12V电压源改为24V电压源,只影响零输入响应,零状态响应不变,故得：,2019/5/13,42,7-6 三要素法,当输入为直流时，图中Uoc=U, 电路的微分方程为：,其解为：,设：Uc(t)的初始值为 Uc(0) ， Uc(t)的稳态值为Uc( ) 则有：Uc(0)=K+U, Uc( )=U, = K=Uc(0)-Uc( ),上两式表明： Uc(t)是由Uc(0)， Uc( )和三个参量所确定的，只要求得这三个参量就可求得响应，这种方法就叫做三要素法。,下面我们要证明， 状态变量Uc(t)可用三要素法求，那么一阶动态电路中的非状态变量各支路电压，支路电流是否也可用三要素法求？其 是否相同？,2）用电压为Uc(t)的电压源置换C。,我们以一阶含C电路为例，如右图。,证明:,1）用三要素法求得状态变量Uc(t)。,3）设: 单口网络N1中任两点之间的电压为Ujk,再设： N1内含个直流电压源Us1, Us2,Us和个直流电流源Is1, Is2,Is 此时激励源的总数为: 1+ + ,由叠加定理，解答Ujk可表示为：,(7-43),其中 K0、Kk、 Hl（为网络函数，因为当某一独立源单独作用时，N为纯电阻电路，所以u=Bi）为取决于电路结构及元件参数的常数,（7-44）,其中：,将用三要素法所求的 uc(t) 代入上式，可得：,（7-46）,（7-46）式和（7-42）式形式相同。,结论：从上述（7-46）式可知，直流一阶RC电路中任两点间的电压Ujk(t)是按指数规律变化的，可用三要素法求出, 时间常数与Uc(t)相同。,4）同理我们可以证明： RC电路中的任一支路电流ij(t)以及一阶RL电路中的任一支路电压Ujk(t)及支路电流ij(t)也是按指数规律变化的，可用三要素法求解，且分别相同,（7-44）式也可写成,2019/5/13,47,用三要素法求解的步骤： 设：已知初始状态Uc(0)或iL(0),(1)求t=0时的等效电路：用Uc(0)或iL(0)置换电容或电感，得到一直流电阻电路，从而求出电压或电流的初始值y(0)。 (2)求t=时的等效电路：用开路代替电容或用短路代替电感，得到一直流电阻电路，从而求出电压或电流的稳态值y()。 (3)求含源电阻网络N1的戴维南或诺顿等效电路，计算时间常数 =RC 或=L/R (4) 按三要素法一般公式，求出任一电压或电流的解答式。,2019/5/13,48,例7-9 用三要素法求解图7-20(a)所示电 路的 i(t) t0,解: (1)求i(0+) t=0-时, 电感电流iL(0-)=0, t=0+时,开关闭合，由于电感电流不能跃变, 所以 iL(0+)=0 由此可作出t=0+时的等效电路如图7-31所示, 其中电感电流为零, 故以开路代替. 求得:,2019/5/13,49,开关闭合后, t= 时电路达到直流稳态,电感相当于短路, 此时等效电路如图7-32所示, 求得:,(2)求i(),2019/5/13,50,(3)求 图7-20(a)电路中开关闭合后,对电感的戴维南等效电阻 R0=(4+1.2/6)=5 因此 =L/ R0=10/5s=2s,(4) 由于i(0) i() , i(t)是按指数规律下降的,可直接写出,i(t)的波形如图7-33所示,图7-33,2019/5/13,51,例7-10 电路如图7-34所示,已知电流源is=2A、 t0 ; is=0、 t0 ; r=2 . 求: i(t)、 t0,t0时: is=0, uc(0-)=0=uc(0+),解: (1)求i(0+),作t=0+等效电路如图7-35所示, 把受控电压源与4串联支路等效为受控电流源与4的并联后,运用分流关系可得:,2019/5/13,52,(2)求i() 作 t=等效电路如图7-36所示, 可知: i()=2A,(3)求 首先应求得对电容而言的戴维南等效电阻R0。用外施电压法，施加电压源u1如图7-37所示,求得相应的电流i1便可得到所求电阻. 由KVL可得 u1=4i1+4i1+2i1=10i1 R0=u1/i1=10,2019/5/13,53,(4)由于 , 可知电流i系数按指数规律上升, 可得:,波形如图7-38所示.,图7-38,2019/5/13,54,一、微分电路 使输出信号（如uo）与输入信号（如ui）对时间的导数成正比的电路，即满足 uo=k 的电路称微分电路。 微分电路的形式很多，下面仅介绍 RC微分电路。,加1-微分电路与积分电路,2019/5/13,55,图加-1所示电路中， ui(t)为输入电压， uo(t)为输出电压，当输出端负载开路或近似开路时， RC为串联电路，根据KVL有： uC(t)+ uo(t)= ui(t) 即