《几何应用体积》PPT课件.ppt

第二步 求对应于x,x+dx上局部量U 的近似值,第三步,以微元为被积表达式在U定义的 区间a,b 上积分,称元素或微元,(微元法),定积分应用的元素法,第一步 确定所求量U 定义的区间a,b,(即:选积分变量，确定积分区间),不妨设,选x为积分变量,三、体积,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,6.2 定积分在几何学上的应用,(已全面讲述:直角坐标(含参数方程)与极坐标 ),(已介绍三个公式),并补充了旋转面的面积:,| |,| |,例8. 计算曲线,的弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,(P364 公式39),小结 目录 上页 下页 返回 结束,三、体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,平行截面面积为已知函数的立体体积,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转体的体积,例12. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当b = a 时, 得半径为a 的球体的体积,例13. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意换限 !,注 目录 上页 下页 返回 结束,柱壳(管子)体积,说明:,（薄壳法：286 19）,底面圆环 面积的近似值,例14. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,(柱壳法，薄壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(切片法),底面圆环面积的近似值,（薄壳法：286 19）,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,体积部分：,P285 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18; 22; 25; 30,P285 10 解答提示,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P285 10,与过焦点的弦所围成图形面积的最小值,按直角坐标很困难,选焦点为极点,转化为极坐标系,利用抛物线上一点到,准线和焦点的距离相等,准线,则,面积,令,得,设圆盘,绕,旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,备用题.1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,选 y 为积分变量, 则,x,y,x=b,2. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 令 ),0,-2,3. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称