《函数和极限》PPT课件.ppt

1,1.1 函数 1.2 极限 1.3 极限运算法则 1.4 极限存在准则、两个重要极限 1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较 1.6 函数的连续性 1.7 闭区间上连续函数的性质,第一章 函数和极限,2,第一章 函数和极限,1.1 函数,3,一、集合,1. 集合的基本概念与运算,集合（简称为集）是数学的一个基本概念. 集合通常理解为具有某种性质的事物的全体. 集合中的每一个事物称为该集合的元素.,某事物a与集合E具有下列两种关系之一: (1) a是E的元素，记作aE; (2) a不是E的元素，记作aE.,由有限个元素组成的集合，可将它的元素一一列举出来. 这种表示法称为枚举法. 例如： 由元素a1，a2，an组成的集合A， 记作 A = a1，a2，an.,4,性质描述法表示:设E是具有性质P的元素x的全体所组成的集合，就记作 E = x | x具有性质P 或 E = x | P(x).,通常，以Z、Q、R和 C分别表示整数集、有理数集、实数集和复数集.,如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x A， 则必有x B，就称A是B的子集，记作AB或BA. 如果AB与AB同时成立，则称A与B相等，记作A=B. 例如，设有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，则A = B. 若AB且A B，则称A是B的真子集，记作AB. 例如QR.,5,不含任何元素的集合称为空集，记作. 如集合 x | x R， x2 +1 = 0= . 规定空集是任何集A的子集, 即 A.,集合的基本运算有并、交、差： 设A和B是两个集合,由A和B的所有元素构成的集合,称为A与B的并,记为AB,即AB=x | xA 或xB . 由A和B的所有公共元素构成的集合,称为A与B的交,记为AB,即AB=x | xA 且xB . 由属于A而不属于B的所有元素构成的集合,称为A与B的差,记为AB,即AB=x | xA 且xB .,6,如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个集合S, 那么这个集合称为全集或基础集. 本书在一般情况下用实数集R当全集. 一般地, 设A是全集S的子集,那么S中不属于A的元素全体组成的集合称为A的余集,记为 ,即 =S A. 例如, 对于全集R, 子集A =x | 0 x 1的余集就是 =RA =x | x 0或x 1.,7,2. 邻域、开集、闭集、区间,对于实数a及正数 ，数集x | |x - a| 称为a的 (以点a为中心、以 为半径的) 邻域,记作U(a; ) , 即U(a; )= x | |x - a| . 如图1-1-1所示.,图1-1-1,8,数集x | 0 |x - a| 称为点a的去心 邻域，记为 (a; ). 当不强调 的大小时，a的 邻域和 去心邻域分别简称为a的邻域和去心邻域，并分别记作U(a) 和 (a).,设a与b是两个不同的实数，且a b. 数集 x | a x b称为开区间，记作(a, b)，即(a, b) = x | a x b， 其中a与b称为开区间(a, b)的端点. 因此, 邻域是一个以a为中心的开区间, 即U(a; ) = (a- , a+ ).,数集 x | a x b称为闭区间，记作a, b， 即 a, b = x | a x b，其中a与b称为闭区间a, b的端点. 数集a, b = x | a x b和 a, b = x | a x b均称为半开区间，a与b称为它们的端点. 以上这四种区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度,10,类似地，我们可以定义五类无限区间: (a, +) = x | x a , -, b ) = x | x b, -, + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a，-, b = x | x b . 这些区间在数轴上表示如图1-1-2.,图1-1-2,11,对(a, b), -, b ), (a, +)和-, + )这四类区间做进一步的分析发现, 它们中的任何一点x0都至少存在一个邻域U(x0)使得U(x0)整个被包含于x0所在的区间. 一般地,设E是R的一个子集,若对任意x0E都存在U(x0)E,则称E是一个开集. 因此, 这四种区间都是开集,特别, 开区间和邻域U(a)都是开集. 设F是R的一个子集,若存在开集E使得F=RE, 则称F是一个闭集. 这就是说，闭集是开集的余集；反之，开集也是闭集的余集.于是，闭区间a, b, -, b 和 a, + 都是闭集.,12,二、函数的基本概念,1. 函数的定义,在生产、生活或科学技术领域中，我们会遇到两种类型的量：一种是在一定条件下保持不变的量，称为常量，如每天的时间总量T都是24小时，地面上重力加速度g = 9.8m/s2，T和g是常量；另一种是在一定过程中变化着的量，称为变量，如运动的路程及花费的时间，一天之中的气温等.,13,例1 正方形的面积S与它的边长a之间的关系可用S = a2来表示，即对任意的a0，面积S相应地有一个确定的值. 例2 一个物体作匀加速直线运动，出发后经过t秒时所走过的路程s可按如下公式确定： s = a t2， t 0，T (其中a是加速度，T是最大运动时间).,14,例3 漳州是水仙花的故乡. 漳州市郊区农民近六年生产花卉出口创汇日益增加. 某村各年出口创汇的数量如下表所示:,以上三个例子都反映了两个变量之间的联系，当其中一个变量在某个数集内取值时，另一个变量在另一数集内有唯一的值与之对应. 两个变量之间的这种对应关系反映了函数概念的实质.,15,定义 设D是实数集R的一个非空子集，若对D中的每一个x，按照对应法则f ，实数集R中有唯一的数y与之相对应，我们称f为从D到R的一个函数，记作 f : D R y与x之间的对应关系记作y = f (x)，并称y为x的函数值；D称为函数的定义域，数集称为函数的值域. 若把x，y看成变量，则x称为自变量，y称为因变量.,当值域f (D)仅由一个实数C组成的集合时, f (x)称为常值函数. 这时, f (x)C, 也就是说,我们把常量看成特殊的因变量.,16,说明： (1) 为了使用方便并考虑传统的表示习惯，我们常用“y = f (x)”表示函数，并称“f (x)是x的函数(值)”. 当强调定义域时, 也常记作 y = f (x), x D. (2) 函数y = f (x)中表示对应关系的符号f也可改用其它字母，如“j”，“F”等等. 这时函数就记为y = j (x)，y = F (x)，等等. (3) 用y = f (x)表示一个函数时，f所代表的对应法则已完全确定，对应于点x = x0的函数值记为f (x0)或y|x=x0 .,例如，设y = f (x) = ，它在点 的函数值分别为,17,(4) 从函数的定义知，定义域和对应法则是函数的两个基本要素，两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应法则都相同. (5) 在实际问题中，函数的定义域可根据变量的实际意义来确定；但在解题中，对于用表达式表示的函数，其省略未表出的定义域通常指的是:使该表达式有意义的自变量取值范围.,18,例4 求函数 的定义域.,解: 要使函数式子有意义，x必须满足 ，于是，所求函数的定义域为,19,2. 函数的表示法,(1) 解析法 当函数的对应法则用数学式子表出时，这种表示函数的方法称为解析法. 如 都是解析法表示的函数，这是我们今后表达函数的主要形式.,20,例5 设x为任一实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为y = x， 则 . 这个函数称为取整函数.,一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如: 例6 例7 绝对值函数 .,21,例8 . 易知，对于任何实数x，都有x = (sgn x)| x |成立. 这个函数称为符号函数. 像例6、7、8这种形式的函数，称为分段函数.,22,(2) 列表法 若函数y = f (x)采用含有自变量x的值与函数f (x)对应值的表格来表示，则称这种表示函数的方法为列表法. 如上述例3及通常所用的三角函数表、对数表等等，都是用列表法表达函数的例子.,23,(3) 图像法 设函数y = f (x)的定义域为D. 那么，对于任意取定的x D，其对应的函数值为y = f (x). 这样，以x为横坐标、y为纵坐标, 就在xOy平面上确定一点(x, y). 当x遍取D上的每一个数值时，就得到平面点集 C =( x, y)| y = f (x)，x D， 称其为函数y = f (x)的图像. 采用图像给出函数的方法称为图像法. 图1-1-3、图1-1-4与图1-1-5就是用图像法分别表示的取整函数、绝对值函数和符号函数.,24,图1-1-3,25,图1-1-4,26,图1-1-5,27,三、函数的基本性质,1. 函数的有界性,定义 设函数y = f (x)在某一实数集D1上有定义（即D1是f (x)的定义域D的子集），若存在常数M（或m）使得不等式 f (x) M (或f (x) m) 对所有x D1都成立，则称函数y = f (x)在D1有上界（或有下界），同时称M为f (x)在D1的一个上界（或m为f (x)在D1的一个下界）. 若f (x)在D1既有上界又有下界，则称 f (x)在D1有界，或f (x)在D1是有界函数，否则，则称函数f (x)在D1上无界，或称在D1上函数f (x)是无界函数.,28,2. 函数的单调性,定义 设函数y = f (x)在某一实数集D上有定义. 若对于任意的x1，x2 D，当x1 f (x2)， 则称f (x)在D上单调减少. 单调增加与单调减少的函数统称为单调函数. 注：把(1)中的条件改为f (x1) f (x2), 则称f (x)在D上不减; 把(2)中的条件改为f (x1) f (x2)成立时，则称f (x)在D上不增. 不增与不减的函数统称为广义单调函数.,29,3. 函数的奇偶性,定义 设实数集满足：x D当且仅当-x D，则称D是一个对称集.设函数y = f (x)的定义域是一个对称集且满足 f (-x) = f (x)，x D， 则称函数f (x)是偶函数；若且满足 f (-x) = - f (x)， 则称函数f (x)是奇函数. 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称.,30,4. 函数的周期性,定义 设函数y = f (x)的定义域为集D. 若存在一个非零的数T，使得对于任意x D，有xTD且 f (xT) = f (x), 则称f (x)为周期函数，同时称T为f (x)的周期. 显然，若T为f (x)的一个周期，则2T，3T，4T，也都是它的周期，故周期函数有无限多个周期. 若在周期函数f (x)的所有正周期中有一个最小者，则称这个最小者为函数f (x)的最小正周期. 通常所说的周期就是指最小正周期.,31,四、反函数,定义 设已知函数y = f (x)，x D 的值域为f (D). 若对于f (D)中每一个值y，D中有唯一确定的值x使得f (x) = y，就在f (D)上定义了一个函数，称其为函数y = f (x)的反函数，记为 x = f -1(y)， y f (D).,32,y = f (x)与x = f -1(y)互为反函数. 习惯上把自变量记为x，因变量记为y， 所以反函数x = f -1(y)也可写作y = f -1(x). 相对于反函数y = f -1(x)而言，原来的函数y = f (x)称为直接函数. 容易看出，在同一坐标平面上，反函数 y = f -1(x)与直接函数y = f (x)的图像关于直线y = x对称. 如图1-1-8.,33,图1-1-8,34,定理 单调函数必有反函数. 单调增加的函数的反函数必单调增加，单调减少的函数的反函数必单调减少. 例9 函数y = x2 在0，+上是单调增加的，它的反函数 y =在其定义域 0，+上也是单调增加的函数.,35,五、复合函数,例10 某汽车行驶10小时，每公里耗油量为0. 2公升，行驶速度为每小时60公里. 于是汽车在行驶过程中，耗油量y是行驶距离s的函数 y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+， 而行驶距离s又是行驶时间t的函数 s = g(t) = 60t， t 0，10. 因此，汽车的耗油量y，通过中间变量s与时间t建立了函数关系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10， 在这个例子中，y与t的对应关系是由两个函数y = f (s)与s = g(t)复合而成的.,36,定义 已知两个函数y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 设D1 = x | g(x)E，xD 是非空集，那么通过下式 y = f (g(x)， x D1. 确定的函数，称为是由函数u = g(x)与y = f (u)构成的复合函数，它的定义域为集D1，变量u称为中间变量. u = g(x)与y = f (u)构成的复合函数也常记做f g， 即 y = (f g)(x) = f (g(x)， x D1.,37,38,六、初等函数,1. 基本初等函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等. 着重介绍幂函数. 函数 y = xm (其中m是常数) 叫做幂函数. 幂函数y = xm 的定义域根据m的取值而定. 例如:当m = 3时， y = x3的定义域是(-，+); 当m = 时， 的定义域是0，+); 当m = - 时， 的定义域是 (0，+). 但无论 m 取什么值，幂函数在(0，+)内总有定义.,39,2. 初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所得到的且可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 如：,40,七、常用的经济函数,1. 需求函数,在经济学中,某一商品的需求量是指关于一定的价格水平,在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品量.通常用Q表示商品的需求量, P表示它的价格, 在一定条件下, Q可视为P的函数, 记作Q = f (P)或Q = Q (P), 并称之为需求函数.,41,根据市场的统计数据构建数学模型时，常采用如下四种类型的函数: 线性函数:Q = -aP+b, a0, b0; 幂函数: Q=kP-a , k 0, a0; 指数函数:Q = ae-bP, a0, b0; 二次函数: Q = P(a bP), a0, b0.,42,2. 供给函数,供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供给是就生产者而言的.供给量是指生产者在某一时刻内，在各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商品数量. 供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量Q就是价格的函数，称为供给函数. 记作Q=Q(P)或Q = f (P).,43,根据市场的统计数据构建数学模型时,常采用如下三种类型的函数: 线性函数:Q = aP-b, a0, b0; 幂函数: Q = kPa , k 0, a0; 指数函数:Q = a ebP, a0, b0.,44,3. 成本函数,某产品的总成本C是指一定数量的产品所需的全部资源投入的价格或费用的总额，它由固定成本C1和可变成本C2组成. 其中C1为常数，C2即为产量Q的函数，常表示成C2 = C2(Q). 同时用C = C(Q)表示总成本函数，于是，总成本函数 C = C(Q)= C1+ C2(Q). 经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数 (Q):,45,4. 收益函数,总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，因此总收益R是出售量Q的函数，称为收益函数，记作R=R(Q). 例如，当某产品的价格为P，销售量为Q时，则销售该产品的总收益为R=PQ.,46,5. 利润函数,利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若收益函数R=R(Q)，总成本函数C(Q)都是产量或出售量Q的函数，则利润L也是Q的函数，称之为利润函数. 那么， L(Q) = R(Q) -C(Q).,47,第一章 函数和极限,1.2 极限,48,一、数列及数列的极限,1. 数列极限的定义,数列是按次序排列的一列数 x1， x2，xn ， 简记作xn. 准确地说, 数列是定义在正整数集N上的函数 xn = f (n) ， n N, 其中每一个n表示项数, xn表示第n项; 因为项数n是一个变量, 故xn常称为数列的通项或一般项.,49,例2 研究数列 1，-1，1，-1， 的变化趋势. 解 该数列的通项为xn = (-1)n+1. 当n无限增大时， xn总在1和 -1两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数.,例1 研究数列 的变化趋势. 解 该数列的通项为 . 当n无限增大时，2n也无限增大，其倒数 会随之越变越小，无限地趋近于0.,例3 研究数列 的变化趋势. 解 该数列的通项为 . 当n无限增大时，数列的通项xn将大于任意给定的正数.,50,上述三个数列，当n无限增大时的变化趋势各不相同，可归纳为两种情形. 第一种情形: 数列xn随着n的无限增大而（无限）趋于某一个固定的常数a；这时称xn为收敛数列，常数a为该数列的极限； 第二种情形: 数列xn随着n的无限增大而不趋于任何确定的常数. 这时称xn为不收敛.,51,定义1 设xn是一个数列, a是一个常数. 如果对任给的 0，总存在一个正整数N，使得当n N时总有| xn- a| 成立，则称数列xn收敛于a，称a为xn的极限，并记作 或 . 若数列xn没有极限，即满足上述条件的常数a不存在, 则称xn不收敛，或称xn发散.,52,例4 用定义证明 . 证 因 ，为了使 小于任意给定的正数 ，只要 或 . 所以，对于任意给定的正数 ，取正整数 ，则当nN时总有 因此 .,53,2. 收敛数列的性质,定理1 (唯一性) 若数列xn收敛，则它只有一个极限.,对于数列xn，如果存在一个正数，使对一切nN，都有| xn | M，就称xn为有界数列，否则就称xn为无界数列.,定理2 (有界性) 若数列xn收敛，则它必为有界数列.,定理3 (保号性) 若 (或aN时，都有xn 0 (或xn 0).,54,二、函数的极限,1. 函数的极限的定义,xx0时函数f (x)的极限定义如下. 定义2 设函数f (x)在x0的某个去心邻域内有定义,而A是常数. 如果对任给的正数 ，总有某一正数 ，使得当 时，f (x)都满足不等式 . 则称当xx0时，f (x)有极限（收敛）且A为f (x)的极限，记作 或 f (x) A（xx0）. 如果满足上述条件的常数A不存在，则称当xx0时，f (x)的极限不存在（不收敛）.,55,说明：,1) 着重描述xx0时 f (x)的变化趋势，与f (x)在点x0是否有定义并无关系. 2) 有明显的几何意义: 对任给的 0，作平行于x轴的两条直线y =A- 与y =A+ ，总可找到点x0的一个 邻域，使得当 且 时，对应的函数值满足: A- f (x) A+ ， 即函数图像上的点(x，f (x) 落在直线y = A- 与y = A+ 之间的带形区域内.,56,例6 证明 . 证 对于任给 ，由于 只要取 ，那么当 时，就有 . 所以 .,57,x时函数f (x)的极限,定义3 设函数f (x)当| x |大于某一正数时有定义，而A是常数. 如果对于任给的正数 ，总有某一个正数X，使得当| x | X时，f (x)都满足不等式 ， 则称当x时，f (x)有极限（收敛）且A为f (x)的极限，记作 或 . 如果满足上述条件的常数不存在，则称当x时，f (x)的极限不存在（不收敛）.,58,例7 证明 . 证 对于任给 ，由于 只要取 ，于是对于适合|x|X的所有x，不等式 成立. 所以 .,59,单侧极限,定义4 设函数f (x)在点x0的左侧有定义,而A是常数. 如果对任给的正数 ，总有某一正数 ，使得当 时，f (x)都满足不等式 成立， 则称当x趋于x0时，f (x)有左极限且A为f (x)的左极限，记作 , f (x) A（xx0-）或 .,60,类似可给出 当x趋于x0时，A为f (x)的右极限的定义，记作 , f (x) A（xx0+）或 .,定理4 当xx0时，函数f (x)极限存在的充要条件是当xx0时，函数f (x)的左、右极限都存在且相等，即 这里A是一个确定的数.,61,例8 设函数 ，求 和 .,解 根据函数的定义知, f (x)当x0时的左极限为 ； f (x) 当x0时的右极限为 . 由此可知，f (x)当x0时的极限不存在.,62,定义5 设函数f (x)当 x 大于某一正数（或小于某一负数）时有定义,而A是常数. 如果对于任给的正数 ，总有某一个正数X，使得对于当 x X（或相应地x - X）时，f (x)都满足不等式 | f (x) - A| , 则称常数A为函数f (x)当x+（或相应地x-）时的极限，记作 或 f (x) A（x+） （或相应地， 或 f (x) A（x -）.,63,类似于定理4,也有如下结论： 设函数f (x)当 | x | 大于某一正数时有定义, 那么当x时，函数 f (x)极限存在的充要条件是当x+时和当x-时函数f (x)的极限都存在且相等，即 .,64,2. 函数极限的性质,定理5 (唯一性) 若 存在，则其极限值唯一.,证 (反证法) 设 ， . 假定 , 令 = | a-b|, 那么 0. 由极限定义，存在 ，使得当 时，有 ; 而当 时， 有 . 取 ，则当 时，总有 , 矛盾. 所以有ab.,65,证 由于 ，所以对正数 ，存在正数 ，使得当x满足 时，都有 于是，有 记M =1+| a |，则对任意满足 的x都有 | f (x)| M.,定理6 (局部有界性) 若 ，则存在正数M和正数 ，使得当 时，都有,66,定理7(局部保号性) 若 且a 0（或a 0 （或f (x) 0）.,证 先设a 0. 由于 0，所以对正数 ， 存在 0，使得当0 | x-x0| 时有 . 因此， . 对a 0的情形，可以类似证明.,67,第一章 函数和极限,1.3 极限运算法则,68,一、收敛数列极限的四则运算,定理1 若数列an与bn皆收敛，则数列an bn与anbn都是收敛数列，且 (1) ； (2) ； 特别有， ，其中c为常数. (3) 如果 ，则 也是收敛数列，而且 .,69,例1 求极限 .,解 用分子和分母同除以n2，得 .,70,二、函数极限的四则运算,定理2 若极限 与 都存在，则当 时， 的极限也存在，且 (1) ； (2) ； (3) 若 ，则当 时， 的极限也存在，且 .,71,例2 求极限 .,解 因为 ，即这两个极限均不存在，故不能用减法公式. 但当 时，有 ， 于是 .,72,例3 求极限 .,解 先用x3除分子和分母，然后求极限，得 .,一般地，可得如下结论:当 m和n为非负整数时，,73,解 当x1 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则. 但是，由于分子与分母有公因式（x-1），而当x1 时只考虑x1的情形，因此, 可以先约去（x-1），再做极限运算. .,例4 求 .,74,第一章 函数和极限,1.4 极限存在准则、两个重要极限,75,一、极限存在准则,准则I(收敛数列的夹逼准则) 设 若存在某正整数N0使得当n N0时，均有 ， 则 .,准则I(函数极限的夹逼准则) 如果在a的去心邻域有 ，并且 ， 则 .,76,递增数列和递减数列统称为单调数列.,如果数列an满足条件 ， 就称an是递增的或单调增加的; 如果数列an满足条件 ， 就称an是递减的或单调减少的.,准则II(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.,注 与单调函数指严格单调函数不同，习惯上把广义单调数列称为单调数列.,77,二、两个重要极限,重要极限1: . （利用准则I来证明）,例1 求 . 解 .,78,例2 求 .,解 因为 ， 所以 .,79,重要极限2: . （利用准则II证明存在性）,例3 求 . 解 令 ，则 时， . 于是 .,80,例4 求 .,解 令t = 2x,那么当x0 时有t0. 因此, .,81,第一章 函数和极限,1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较,82,一、无穷小及其性质,定义1 如果f (x)当xx0 （或x）时以0为极限，则称 f (x)是当xx0 （或x）时的无穷小量，简称无穷小.,例如，当x1时，x1是一个无穷小; 当x时， 是一个无穷小等等.,定理1 若 ，则 是当 时的无穷小.,83,根据极限性质及四则运算法则，可以证明下列无穷小的性质（1）和（3）: (1) 有限个无穷小的代数和是无穷小. (2) 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. (3) 有限个无穷小的乘积是无穷小.,84,证明性质（2）.,设在x0的某个去心邻域 ，g(x)为无穷小，f (x)为有界函数. 那么存在常数M 0使得| f (x)| M在 成立；同时，对任意 0, 存在 0使得当 时都有| g(x) | . 取 , 那么当 时有 . 这就证明了当xx0时，f (x)g(x)为无穷小.,85,例1 求 .,解 当x 时分子与分母的极限都不存在，因此不能应用商的极限运算法则来计算. 但是，由于sin x是有界函数, 当x时 是无穷小,利用无穷小的性质(2) 知 .,86,二、无穷大,定义2 如果当xx0（或x）时，函数f (x)的绝对值无限地增大，则称f (x)为当xx0（或x）时的无穷大量，简称无穷大. 记作 (或 ).,定义 若对任意给定的正数M，总存在正数 (或K)，使得当x满足 (或 K) 时，都有| f (x)| M， 则称f (x)是当xx0（或x)时的无穷大.,87,例2 证明 是 时的无穷大.,证 对任意给定的正数M，取正数 ，那么，当 时有 ， 所以， 是 时的无穷大.,88,定理2 在同一变化过程中， (1) 若f (x)为无穷大，则 为无穷小; (2) 若f (x)为无穷小且f (x)0，则 为无穷大.,89,例3 求 .,解 当x2 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则. 但是，由于分子的极限不为0，因此, 可以先求原式倒数的极限 = 0， 再利用无穷小与无穷大的关系，得 = .,90,三、无穷小的比较,定义 设u，v是同一变化过程的两个无穷小，即 （如果u，v是数列，lim应理解为 ，否则，u，v是同一自变量的函数，则lim应理解为 、 或其它单侧极限过程）.又设v 0,并用 表示这一变化过程的极限.,91,(1) 若 ，则称u为比v高阶的无穷小，记为 ; (2) 若 ，则称u为比v低阶的无穷小; (3) 若 ，则称u与v是同阶无穷小; 特别地, 若 ，则称u与v是等价无穷小，记为u v. (4)如果存在正整数k和常数c 0,使得 ，则称u是v的k阶无穷小.,92,例如， 由 ， ， ， 知，当x0时 ， ; 当x时， 与 是同阶无穷小;当x1时，x-1是比(x-1)2低阶的无穷小.,93,例4 证明：当x0时，tan x -sin x x3.,证 利用三角公式变形得: . 由于 , 再由1.4例2知, . 故由极限的四则运算法则得 所以tan x -sin x x3.,94,定理1 u 与 v是等价无穷小的充分必要条件是u = v +o(v).,定理2 设u u, v v且存在 , 则存在 且 .,95,例5 求 .,解 当x0时, tan x x, 无穷小3x2+x 与自身等价, 所以 .,96,注意：记住一些常用的等价无穷小,这对于求极限运算常带来许多方便. 同时应该注意, 等价无穷小只适用于代替分子或分母的因子, 不可随意代替非因子的式子. 比如,在例4求极限时, 若把分子tan x sin x分别用tan x和sin x的等价无穷小代入, 将出现如下错误:,97,第一章 函数和极限,1.6 函数的连续性,98,一、函数连续性的概念,假定函数y = f (x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量从 x0变化到x时，对应的函数值从f (x0)变化到f (x)，称x = x - x0为自变量x（在点x0）的改变量或增量. 相应地，把 y = f (x) -f (x0) 即y = f (x0+x)- f (x0)称为函数y（在点x0）的改变量或增量应注意，自变量的增量x和函数的增量y可以是正数也可以是负数或0,99,定义1 设函数y = f (x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数y = f (x)在点x0连续,由于 等价于 ， 等价于 ，因此函数y = f (x)在点x0连续等价于 所以，函数y = f (x)在点x0连续的定义又可叙述为：对任意的 ，总存在 ，使得当 时，有,100,如果 f (x)在区间I的每一个点都连续，则称y = f (x)在I上连续或y = f (x)是I上的连续函数，这里对于区间的端点(如果它属于I的话)只要求单侧(左或右)连续.,定义2 若函数y = f (x)在点x0的某右（左）邻域内有定义，如果 那么就称函数f (x)在点x0右（左）连续.,101,定理1 函数f (x)在点x0连续的充要条件是：f (x)在x = x0既是右连续的，又是左连续的,例1 证明正弦函数y = sin x在(-, +)上连续 证 对任意x0(-, +)，由和差化积公式得 . 因为 所以 故y = sin x在x0点连续，由x0(-, +)的任意性可知， y = sin x在 (-, +) 连续,102,二、函数的间断点及其分类,根据函数y = f (x)在x0点处连续的定义可知，函数f (x)在x0点处连续必须且只需同时满足下面三个条件： (1) f (x)在x0处有定义； (2) 存在，即 存在且相等； (3),103,如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，如果 f (x)在x0无定义；或者 f (x)在x0虽有定义但在x0的极限不存在；或者f (x)在x0有定义，极限也存在，但极限值不等于f (x0)，则f (x)在x0处不连续使函数f (x)不连续的点x0称为f (x)的间断点通常将函数的间断点分为两类：一类是左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；不是第一类的间断点，都称为第二类间断点,104,例3 考察函数 由于它在x =1处无定义，所以x =1是间断点又因为 所以x =1是第一类间断点. 同时我们发现，只要补充定义 f (1) = 2，则所给函数在x = 1处就连续了,一般地，若x0是函数f (x)的间断点且 存在，则称x0为函数f (x)的可去间断点. 对于f (x)的可去间断点x0，可用f (x)在x0的极限值来补充或修改f (x)在x0处的定义，得到在x0处连续的函数.,105,例4 考察函数 的间断点.,由于 ， ，即函数在x = 0处的左右极限存在，但不相等，故极限 不存在，所以点x = 0是函数f (x)的第一类间断点, 但不是可去的.这种左右极限都存在但不相等的间断点又称为跳跃间断点,106,例5 考察函数 的间断点. 该函数在 x = 0没定义，点x = 0是它的间断点由于当 时， 的左右极限都不存在, 所以点x = 0是函数的第二类间断点. 实际上, 当 时函数值在1与1之间变动无限多次，因此, 这种间断点也称为函数的振荡间断点,107,根据定义知,可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点，振荡间断点和无穷间断点都是第二类间断点.,例6 考察正切函数 在 的间断点. 因为 ，所以点 是函数 的 第二类间断点; 同时，根据它的极限状态，我们又称 是函数 的无穷间断点,108,三、连续函数的和、差、积、商的连续性,定理2 有限个在同一个点连续的函数的和是一个在该点连续的函数,定理3 有限个在同一个点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数,定理4 两个在同一个点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零,109,例7 考察函数tan x 和cot x 的连续性. 解 因 ，而sin x和cos x都在区间(-, +)内连续，故由定理4知tan x和cot x在它们的定义域内是连续的,110,四、反函数与复合函数的连续性,定理5 如果函数y = f (x)在区间I上单调增加（或单调减少）且连续，那么f (x)的值域J = f ( I )也是一个区间，且反函数x = f -1(y)在J上也单调