《向量组的相关性》PPT课件.ppt

1,线性方程组的矩阵和向量表示,线性方程组可写成几种不同的形式,第三节 向量组的线性相关性,1.3.1 向量组的相关性,定义 1.6 （线性组合、线性表示）,为向量组A的一个线性组合，,b 在该线性组合下的组合系数.,称向量,也称b 可由向量组A,线 性表示或线性表出，,例 设a1 = (1,0,2,0), a2 = (3,-1,0,1), a3 = (0,1,-1,0),令b = (-2,3,0,-1),则b为向量组a1, a2, a3 的一个线性组合，,也可说b 可由a1, a2, a3 线性表示。,例 设n 维向量a 是向量b1与b2的线性组合，而b1与b2又都是g1 , g2, g3的线性组合, 求证a是g1 , g2, g3的线性组合,如果向量组S1中每一个向量均可由向量组S2线性表示，,则称向量组S1可由向量组S2线性表示，,如果同时S2也可由S1线性表示，,则称S1和S2是等价向量组，或称它们是等价的。,约定 (1)在一个向量组中所有向量的维数相同；,(2) 向量组中允许有相同的向量；,(3) 向量组中的向量可以是有限的，也可以是无限的，但每一个线性组合中的向量个数是有限的。,如果存在不全为零的常数k1, k2, , km ,使得,等式(1.14)才成立，则称这 m 个向量线性无关,线性相关，,定义 1.7 （线性相关、线性无关）,k1a1+k2a2+ +kmam = 0, (1.14),线性无关，,即：如果只有当 k1= k2= = km = 0 时，,向量组相关性的说明,性质1 包含零向量的向量组必线性相关,性质2 包含两个相等向量的向量组必线性相关,一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关,性质3,定理1.13 当m2时,向量组A:a1, a2,am 线性相关的充要条件是其中某一向量可表示为其余向量的线性组合,定理1.14 若向量组a1, a2,am 线性无关,但添加一个向量b后向量组a1, a2,am, b 线性相关, 则b是a1, a2,am的线性组合, 且其线性表示是唯一的.,习题1.3第4题,(由性质3),(由定理1.14),定理1.15 设A为n阶方阵，则A的n个列向量线性相关的充要条件是|A|=0,定理1.15 的另一种叙述:n个n维向量线性相关的充要条件是其构成的方阵行列式|A|=0,即,n 个 n 维向量a1(a11, a12, a1n), a2(a21, a22, a2n), , an(an1, an2, ann)线性相关的充要条件是,故由定理1知向量组a1 a2 a3线性相关,练习 试讨论向量组 a1(1 1 1) a2(0 2 5) a3(2 4 7) 线性相关性,解 由向量组构成的行列式,定理1.16 n + r 个n维向量必线性相关, 这里r 0,定理1.17 设 n 维向量组x1,x2,xr 可由向量组h1,h2,hs 线性表出, 若r s, 则 x1,x2,xr 线性相关,向量组的极大线性无关组,定义1.8 (极大无关组) 设有向量组S 如果在S中能选出r 个向量a1 a2 ar 满足,(1)向量组M a1 a2 ar 线性无关,(2)往M中再添任一S中的其它向量,则这 r +1个向量构成的向量组线性相关.,那么M a1 a2 ar 称为向量组 A 的一个极大线性无关组（极大无关组，极大组）,故由定理1.15知向量组a1 a2 a3线性相关,例 试求向量组 a1(1 1 1) a2(0 2 5) a3(2 4 7) 的一个极大线性无关组,解 由向量组构成的行列式,又显然向量组a1 a2线性无关，因此a1 a2就是所求向量组的一个极大线性无关组。,同样a2 a3也是向量组的一个极大线性无关组。,性质1 向量组中任一向量都可由其极大无关组线性表示 (由定理1.14),向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有,性质2 在一个向量组中，不同极大线性无关组中所包含的向量的个数是相同的,定义1.9 (向量组的秩) 向量组A的极大线性无关组所含向量