高等数学（二）多元函数的偏导数ppt课件

13 多元函数的偏导数,在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化.,则 z 成为一元函数 z = f (x, y0),我们可用讨论一元,函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数.,一、偏导数的定义,设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作,称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量.,定 义,则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.,即,此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.,类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成为 y 的一元函数.,则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.,即,若 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的偏导数都存在, 即(x, y)D,存在.,此时, 它是 x, y的二元函数. 称为 z 对 x 的偏导函数. 简称偏导数.,类似定义 z 对 y 的偏导函数.,1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的.,注,因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.,2.f x (x0, y0) 就是 f x (x, y) 在点(x0, y0)的值.,算 f x (x0, y0),可用3种方法.,f y (x0, y0),f y (x, y),f y (x0, y0),(1) 用定义算.,(2) 先算 f x (x, y), 再算 f x (x0, y0),f y (x, y),f y (x0, y0).,(3)先算 f (x, y0), 再算 f x (x, y0) 再算 f x (x0, y0),f (x0, y),f y (x0, y),f y (x0, y0).,例1.,解:,或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6,故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.,例2.,解:,例3.,解:,偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.,比如, 设 u = f (x, y, z) .,它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可.,例4.,解:,由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏导数的几何意义.,设 z = f (x, y) 在点 X0=(x0, y0),处的偏导存在, 记 z0 = f (x0, y0 ). 点M0(x0, y0 , z0)则,二、偏导数的几何意义,f x (x0, y0)就是以平面 y = y0与曲面z = f (x, y) 相截, 得到截线 1 .,1 上点 M0(x0, y0 , z0)处切线,对 x 轴的斜率.,而 f y (x0, y0)就是以就是以平面 x = x0与曲面 z = f (x, y) 相截, 得到截线 2 .,2 上点 M0(x0, y0 , z0),处切线对 y 轴的斜率.,故只须搞清一元函数 f (x, y0)的几何意义. 就可得到 f x (x0, y0)的几何意义.,以平面 y = y0与曲面z = f (x, y)相截, 得截线,1 :,z = f (x, y),y = y0,也就是 z = f (x, y0).,且 M0 (x0, y0 , z0)在 1 上.,即 z = f (x, y0)表示平面 y = y0与曲面 z = f (x, y)的交线1.,z = f (x, y0)上点M0处的切线对 x的斜率.,如图,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.,类似得 f y (x0, y0)的几何意义.,如图,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.,在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用.,即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续.,三、偏导与连续的关系,例5. 设,证明z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.,证:,前边已证 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续.,= 0,= 0,故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但它在 (0, 0)不连续.,下证 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在.,从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一元函数 f (x, y0)在 x0 连续.,也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.,同理, f y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续.,但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.,换句话说, 当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)的极限都是 f (X0).,显然, 上边两个条件都不能保证它成立.,例.,易知, f (x, y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.,但它在(0, 0)不连续.,如图,14 多元函数的微分,一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式.,该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度.,在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量 f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0).,一、全微分的概念,类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义.,记 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0).,= f ( X+X ) f (X0).,其中 X0 = (x0, y0). X = (x, y),称为 z = f (X) = f (x, y)在点X0 = (x0, y0) 的全增量.,设 z = f (X) = f (x, y)在U(x0)内有定义.,若 z = f (x, y)在点(x0, y0) 的全增量 z = f (x0+x, y0 +y) f (x0, y0)能表成,z = ax +by + 0 (| X |),其中a, b是只与x0, y0有关, 而与x, y无关的常数.,定 义,称 ax +by 为 z= f (x, y)在点(x0, y0)处的全微分.,则称 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微.,1.按定义, z = f (x, y)在点(x0, y0)可微 ,注,2.若 z 在点 X0 = (x0, y0)可微,即 z ( ax +by ) = 0 (| X |),3.若 z = f (x, y)在区域 D 内处处可微. 则称 z = f (x, y)在 D 内可微. z 在(x, y)D 处的全微分记作 dz.,即 dz = a (x, y)x + b (x, y) y,它实际上是一个以 x, y , x , y为自变量的四元函数.,对照一元函数的微分, z = f (x), 若z = ax +0 (x) 则dz = ax = f (x) x .,自然会提出以下问题.,(1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = ax +by中系数 a, b 如何求, 是否与z的偏导有关?,(2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价?,(3)在一元函数中, 可微连续, 对二元函数是否也对?,设 z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 要证 z 在(x0, y0)连续.,则 z = f (x0+x, y0+y) f (x0, y0),令x 0, y 0, 由最后一式知, z 0.,结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏导) z 在(x0, y0)连续.,若 z = f (x, y)在点 X =(x, y)处可微, 则 z = f (x, y)在点(x, y)处两个偏导,证:因 z 在(x, y)处可微, 由定义, z 的全增量.,此式对任何充分小的x, y 都成立.,且 z 在 (x, y)处的全微分为,定理1,特别, 当 y =0时,有,同除以 x ( 0), 并令x 0. 得,= a,定理1回答了问题1, 并指出二元函数z = f (x, y),可微 存在两个偏导,反之不对.,右端式子也可写出.,可能不是全微分.,从而 z 不能写成定义中的形式, 故不可微.,例1.,证明 z 在 (0, 0)处的两个偏导存在, 但 z 在 (0, 0)不可微.,证: 由偏导定义,= 0,= 0,而,故 z 在 (0, 0) 不可微.,若 z = f (X) = f (x, y)的两个偏导数f x (x, y), f y (x, y)在X0 = (x0, y0)的某邻域 U(x0)内存在, 且它们都在 X0 = (x0, y0)连续, 则 z = f (x, y)在 (x0, y0)可微.,定理2,因 f x (x, y), f y (x, y)在U(x0)内存在.,证:,由偏导数的定义, 以及一元函数可导与连续的关系知.,对于固定的 y ,以x为自变量的一元函数 z = f (x, y),在该邻域所对应的 x 的区间上连续, 可导.,从而它们都满足拉格朗日中值定理条件(在相应区间上).,以 y为自变量的一元函数 z = f (x, y)在该邻域所对应的 y 的区间上连续, 可导.,对于固定的 x ,z = f (x0+x, y0+y) f (x0, y0),= f (x0+x, y0+y) f (x0, y0+y) + f (x0, y0+y) f (x0, y0),在上式第一括号中, 将 y0+y 固定.,则它是以 x 为自变量的一元函数 f (x, y0+y)在x0, x0+x上的改变量.,因 f (x, y0+y)在 x0, x0+x上满足拉格朗日中值定理条件, 从而,取 (x0+x, y0+y) U (X0),f (x0+x, y0+y) f (x0, y0+y),= f x(x0+1x , y0 +y x ,其中 011,同理 f (x0, y0+y) f (x0, y0) = f y(x0, y0 +2y y ,021,故 z = f x(x0+1x , y0 +y x + f x(x0, y0 +2y y,因 f x (x, y), f y (x, y)都在(x0, y0)连续.,由极限与无穷小量的关系,其中 1 0, (x 0, y 0时),有,f x(x0+1x , y0 +y) = f x(x0, y0)+1,有, f y(x0, y0 +2y) = f y(x0, y0)+2,其中 2 0, (x 0, y 0时),因此, z = f x(x0, y0)x +f y(x0, y0)y +(1x +2y),由于 z = f x(x0+1x , y0 +y x + f x(x0, y0 +2y y,f x(x0+1x , y0 +y) = f x(x0, y0)+1,易见, |1 |+|2 |0, (x 0, y 0时),由全微分的定义知, z = f (x, y)在 (x0, y0)可微.,即,在点 X 处雅可比向量(矩阵). 也记作(z).,2.若 z = f (X)在区域 D 内有一阶连续偏导. 则记 f (X)C1(D),3.和一元函数微分一样, 自变量 x, y 的微分就等于它们的改变量, 即 dx = x , dy = y . 且记 dX = (dx , dy),最后一式表数量积.,4. 全微分的概念可推广到三元以上的函数中去.,且, 若 u = f (x, y, z)可微, 则,因此,全微分公式可写为,例2. 求 z = x2 cos xy 的全微分.,解:,故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3sinxydy,例3. 求 z = exy 在点(2, 1)处的全微分.,解:,故 dz = yexydx + xexydy,例4. 求 u = xyz 的全微分.,解:,故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdy,= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdy),设多元函数 f (X), g(X)在点 X 可微,则,(1) d(f (X) g(X) = df (X) dg(X),(2) d( kf (X) = kd f (X) , k为常数.,(3) d(f (X) g(X) = g(X)d f (X) + f (X)dg(X),(4),其中, g(X) 0.,定理3,设 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)的某邻域 U(X0)内存在偏导数 f x 和 f y , 则对任意的X = (x, y) U(X0), 至少存在两点 X1 = (1, 1), X2 = (2, 2) U(X0) , 使得,证: 回忆一元函数拉格朗日中值定理.,二、微分中值定理,定理4,由于f x 和 f y 在U(X0)内存在.而对于固定的 y, f (x, y) 是以 x 为自变量的一元函数,在对应的 x 的区间上连续, 可导. 满足拉格朗日中值定理条件.,有,同理,其中, 1介于x0, x 之间, 2 介于 y0, y 之间.,记 1 = y , 2 = x0 , 有,一般, 若n元函数 z = f (X)在点X0 的某邻域 U ( X0 )内存在对各变量的偏导, 则对任意的X = (x1, x2, , xn)U (X0), 存在 n 个点,设 z= f (X)= f (x, y) 在闭区域DR2上连续, 在开区域 D 内存在连续偏导数 f x 和 f y .,若点 X0 = (x0, y0), X1 = (x1, y1)D, 直线段,如图,使得,定理5,证: 如图