同角三角函数的基本关系及诱导公式.ppt

要点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:_. (2)商数关系: . (3)倒数关系: .,3.2 同角三角函数的基本关 系及诱导公式,基础知识 自主学习,sin2+cos2=1(R),2.六组诱导公式,sin ,-sin ,-sin ,sin ,cos ,cos ,cos ,-cos ,cos ,-cos ,sin ,-sin ,tan ,tan ,-tan ,-tan ,基础自测 1. 的值是_. 解析 2.已知为第二象限角,且sin = 则tan =_. 解析 为第二象限角且sin =,3.若 则 =_. 解析 可得tan =3,4.已知tan = 且 则sin = _. 解析 sin 0.,【例1】已知 (1)化简f(); (2)若是第三象限角,且 求f() 的值. 必然利用到诱导公式,可以根据需要从中选 取,注意先变符号比较好,负化正,大化小，化到锐 角为终了.,典型例题 深度剖析,分析,解,跟踪练习1 化简 解,【例2】(2010无锡模拟)已知tan =2,求下列各式的值: (3)4sin2-3sin cos -5cos2. tan =2,即 sin =2cos . 结合sin2+cos2=1,可求sin 、cos ，代入 即可,但此法运算复杂,关键在于能否同除某式出现 tan 形式.,分析,解,跟踪练习2 已知sin( +k)=-2cos( +k),kZ, 解 由已知得cos( +k)0,kZ, tan( +k)=-2,kZ,即tan =-2.,【例3】已知 0,从而判 定sin x-cos x的符号,只需求(sin x-cos x)2即可. (2)由(1)可求出tan x，而 想法使分子分母都出现tan x即可.,分析,解 (1)sin x+cos x= (sin x+cos x)2= 即1+2sin xcos x= 2sin xcos x= (sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+cos2x =1-2sin xcos x= 又 0, sin x-cos x0 由可知:sin x-cos x=,跟踪练习3 已知sin +cos = (0,).求值: (1)tan ;(2)sin -cos ;(3)sin3 +cos3 . 解 方法一 sin +cos = (0,), (sin +cos )2= =1+2sin cos , sin cos = 由根与系数的关系知, sin ,cos 是方程 的两根, 解方程得 sin 0,cos 0,(1)tan = (2)sin -cos = (3)sin3 +cos3 = 方法二 (1)同方法一. (2)(sin -cos )2=1-2sin cos sin 0,cos 0, sin -cos = (3)sin3 +cos3 =(sin +cos )(sin2 sin cos +cos2 ),【例4】(14分)是否存在 (0,), 使等式 同时成立.若存在,求出,的值; 若不存在,请说明理由. 要想求出、的值,必须知道、的某 一个三角函数值,因此,解决本题的关键是由两个等 式,消去或得出关于或的同角三角函数式.,分析,解题示范 解 假设存在、使得等式成立,即有 2分 由诱导公式可得 2+2得sin2+3cos2=2,cos2=,跟踪练习4 已知sin ,cos 是关于x的二次方程 2x2+( +1)x+m=0的两根,求2tan 的值. 先化简三角函数式然后利用两根之和与两根 之积找关系或利用判别式. 解 由根与系数的关系可得sin +cos =,分析,高考中主要以填空题的形式考查利用同角三角函数 关系式或诱导公式求某角的三角函数值或求某三角 函数式的值,或对三角函数式进行化简,难度不大. 1.由一个角的三角函数值求其它角的三角函数值要注 意角的范围. 2.注意公式的变形使用及切化弦、三角代换(“1”的 代换)、消元等三角变换方法的使用,同时要慎重注 意三角函数值的符号.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,方法规律总结,3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号” 的正确判断,一般常用“奇变偶不变,符号看象限” 的口诀. 4.已知三角函数值求角时,要特别注意角的范围，慎 重选取“正负号”. 5.证明恒等式常用的方法:化切割为弦，由一边 推证另一边(一般是由繁到简),或由左右两边推证 等于同一个式子. 6.熟悉sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子之间的关系,已知其中一个式子的值,可 求出另外两个式子的值,但应注意其符号的选取.,一、填空题 1.(2010南通模拟) 的值 为_. 解析,定时检测,2.（2010江苏镇江一模）设tan(5+)=m，则 的值为_. 解析,3.(2009辽宁沈阳四校联考)已知 则sin cos =_. 解析 由已知得:sin +cos =2(sin -cos ), 平方得 1+2sin cos =4-8sin cos , sin cos =,4.（2008浙江理,8）若cos +2sin = 则 tan =_. 解析,2,5.(2008四川理,5)设02，若sin cos ,则的取值范围是_. 解析,6.(2010吉林长春调研)若sin +cos =tan 则的取值范围是_. 解析 由sin +cos =tan ,00, 1tan ,7.(2009苏州二模)sin21+sin22+sin23+ sin289=_. 解析 sin21+sin22+sin23+sin289 =sin21+sin22+sin245+sin2(90-2) +sin2(90-1) =sin21+sin22+ +cos22+cos21 =(sin21+cos21)+(sin22+cos22)+ (sin244+cos244)+,8.(2010浙江嘉兴期末)已知f(x)= 若 则f(cos )+f(-cos )=_. 解析 f(cos )+f(-cos ),9.(2009北京)若sin = tan 0,则cos = _. 解析 sin = tan 0, cos 0,二、解答题 10.(2010泰州模拟)化简: 解 方法一 原式= 方法二 原式=,11.(2010泰州模拟)已知sin22+sin 2cos -cos 2=1,(0, ),求sin 、tan 的值. 解 由sin22+sin 2cos -cos 2=1,得 4sin2cos2+2sin cos2-2cos2=0 2cos2(2sin2+sin -1)=0 2cos2(2sin -1)(sin +1)=0. 因为(0, ),所以sin +10,且cos 0, 所以2sin -1