向量与向量的线性组合.ppt

第二节 向量 与 向量的线性组合,（一） 向量及其线性运算,二维向量,二元有序数组（x, y）,三维向量,三元有序数组（x, y,z）,n维行向量,n元有序数组,n维列向量,1. 定义,分量为实数的向量称为实向量； 分量为复数的向量称为复向量。,负向量,n维(基本)单位向量：,零向量,特殊向量：,或,2. 运算,相等,加法,减法,数乘,k(k1),k(k0),设,向量的加法与数乘满足下列运算规律：,3. 运算律,对于所有n维向量组成的集合，按定义的加法和数乘，满足八条运算法则，我们称这个集合对规定的加法和数乘构成一个n维向量空间。记为Rn.,定义3.4 （P.122（126） ),与矩阵的加法、数乘运算律同。,例 （P.123（127）,解,用向量的观点看矩阵,则,或,用向量的观点看线性方程,可写成：,即,令,称为满足方程 的一个解向量。,例 （P.110(113)方程组,若记,方程组有解,使得,（二） 向量组的线性组合,问题的提出：,线性方程组可用向量表示为,方程组是否有解的问题归结为：,是否存在一组数,使得上式成立。,定义3.5（P.124(128)）,对于给定的向量,1.定义,如前例,例 （P.124例3(129例2)） 零向量是任何向量组的线性组合。,设任一向量组为 ，,一些常用结果,n维单位向量组（基本向量）：,例 （P.124例2(129例1)）,任何n维向量,都可由n维基本单位向量组线性表示。,例 （P.125例4（129例3） 向量组 中任 一向量都可由这个向量组线性表出。,因为,组内向量可由本组向量表示,2. 能否表示的判定定理及求组合系数的方法,对比线性方程组的向量表示：,等价于 r(A|) 是否等于 r(A)。,设,其中,定理3.3 （P.124（128）,以向量 j 为列！,注意：若 ， j 是行向量，则须,思考题：,问：“表示”是否唯一？,列向量， 行变换！,例5 P.125 判断向量,是否各为下列向量组的线性组合。若是，写出表示式。,解 (1),（表示唯一吗？）,(2),练习,设R3 中的向量,判断 能否由 1，2， 3 线性表示？若能，写出一个表示式。,解,若不需写出“表示式”，则不必化行简化阶梯形矩阵。,（表示式不唯一，为什么？）,取 x3=0,得 x1=5, x2=-1.,于是得线性表示式：,再求一表示式,取 x3=1,得 x1=6, x2=-3.,定义 设有两个向量组, 若向量组(A)的每个向量都可由向量组(B)中的向量线性表出，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表出。,三、 两个向量组之间的关系 (P.125 (137),即, 若向量组(A)与向量组(B)可互相线性表出，则称它们等价。(定义3.6）,线性表出的传递性：,(A)可由(B)线性表出，(B)可由(C)线性表出， (A)可由(C)线性表出。,设,定理3.4 （P.126（137定理3.8）,证略,例6 P.126 判断下列向量组是否等价,解 因为,所以(B)可由(A)线性表示。,又,所以(A)可由(B)线性表示。,故向量组(A)与(B)等价。,(C)可由(A)线性表示:,但 (A)不能由(C)线性表示: 因 不能由(C)线性表示,故(A)与( C) 不等价