《复氏变换》PPT课件.ppt

第八章 傅里叶变换,8.1 傅里叶变换的概念,8.2 单位脉冲函数,8.3 傅里叶变换的性质,(一)傅里叶级数, 在a,b上连续，或者只有有限个第一类间断点；, f(t)在a,b上只有有限个极值点。,8.1 傅里叶变换的概念,以T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，即：,那么在 上fT(t)可以展成傅氏级数，,在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为：,这种表示形式称为傅里叶级数的三角表示形式,在fT(t)的间断点处：,根据欧拉公式有：,这种表示形式称为傅里叶级数的复指数表示形式,其中w0称为基频， An称为振幅，qn称为相位,因此cn称为离散频谱，|cn|称为离散振幅谱，argcn称为离散相位谱,且常记F(nw0) = cn,例1 设fT(t)是以T=2p为周期的函数,且在区间0,2p 上fT(t) = t,将fT(t)展开为指数形式的Fourier级数,解:,当n = 0时,当n 0时,例2 求以T为周期的函数,指数形式的Fourier级数和它的离散频谱.,解:,当n = 0时,当n 0时,fT(t)指数形式的Fourier级数为,(二)傅里叶积分,任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的。,根据积分的定义，上式为,这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式,定理(傅氏积分定理)：如果f(t)在(-,+)上的有限区 间满足狄氏条件，且在(-,+)上绝对可积，则傅氏积分成立。,在f(t)的间断点处：,复数形式,(三)傅里叶变换,定义：左式为傅里叶变换，其中函数F(w)称为的f(t)像函数，记为F(w)=Ff(t)；右式为傅里叶逆变换，其中函数f(t)称为F(w)的像原函数，记为f(t)=F-1F(w),称F(w) 为频谱密度函数(简称频谱或连续频谱),称|F(w)| 为振幅谱， argF(w)为相位谱,解:,解:,8.2 单位脉冲函数(函数),(1)满足下列两个条件的函数称为(狄拉克)函数,(2)普通函数极限形式的定义,其中,(3)广义函数形式的定义,若f(t)在t0为连续函数，则,(一)d函数的定义,(二)d函数的性质,(1) 筛选性质,若f(t)在t0为连续函数，则,(2) d函数为偶函数,即d(-t) = d(t),(3) 设u(t)为单位阶跃函数,t0 = 0时，则,解:,根据d函数的筛选性质,=1,(三) d函数在积分变换中的作用,狭义傅氏变换：狄利克雷条件下满足绝对可 积的非周期性函数进行的变换,(2) 广义傅氏变换：狄利克雷条件下的傅氏变换,(3) d函数是一个广义函数，其傅氏变换是广义的,(4) 许多重要的函数，如常函数、单位阶跃函数、 符号函数、正弦函数、余弦函数等都可以利 用函数而得到,例6 分别求函数 f1(t)=1 与 的傅氏变换,解：,证：,解: 由 sgn(t) = 2u(t) - 1 有,例9 求正旋函数f(t)=sinw0t的傅氏变换,解：,一些基本函数的傅氏变换：,(1)矩形脉冲函数：,(2)单边衰减指数函数：,(3)单位阶跃函数：,(4)其它函数：,8.3 傅里叶变换的性质,1. 线性性质。,(一)基本性质,设 ， ，a和b为常数，,例9 求f(t)=sin2t的傅式变换,解:,2. 位移性质,证明：,令t t0 = u,例10 设Ff(t)=F(w), 求Ff(t)sinw0t,证明:,令x = at, 则,当a 0时,当a 0时,3相似性质,解:,由线性性质,再由位移性质,例11 设Ff(t)=F(w), 求Ff(2t -3),再由位移性质有,解1: 令f(t -3)=g(t), 记Fg(t)=G(w),由位移性质有,再由相似性质有,4.微分性质,证明:,5.象函数的微分性质,一般地，有,证明:,F(w)已知时, 求 tnf(t)的傅氏变换,例12 已知Ff(t)=F(w),求函数 的傅氏变换.,再由象函数的微分性可得,解: 由相似与微分性质有,解: 指数衰减函数,由象函数的微分性质有,6.积分性质,证明:,而根据微分性质:,7. 能量积分,该等式又称为帕塞瓦尔(Parseval)等式。,证明:,例14,由能量积分公式有,作 业,P211 T8.6 T8.11 T8.12 T8.16,解: 由 sgn(t) = 2u(t) - 1 有,6. 求下列函数的傅氏变换.,(2) f(t) = costsint,解1:,(3) f(t) = sin3t,解2:,解1:,解2:,再由线性性质得解,解1:,解2:,11.,解1:,=cosw0t,解2:,12.