条件分布与随机变量的独立性.ppt

1,一、离散型随机变量的条件分布,二、连续型随机变量的条件分布,四、小结,2.5 条件分布与随机变量的独立性,三、随机变量的独立性,2,问 题,考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布。 现在如果限制Y取值从1.5m到1.6m，在这个限制下求X的分布。,3,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,一、离散型随机变量的条件分布,4,设 考虑在事件 已发生的条件下 事件 发生的概率，即求下列事件的概率,由条件概率公式,5,定义,设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若 PY=yj0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,对于固定的i，若 PX=xi0，则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律,6,例1,7,解,由上述分布律的表格可得,8,9,例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.,解,10,现在求条件分布律,11,12,例3 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途下车的 概率均为 p (0p1)，且中途下车与否相互独 立，以Y表示在中途下车的人数，求：,（1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；,（2）二维随机变量 (X,Y)的概率分布。,13,解,14,二、连续型随机变量的条件分布,有问题，,15,设 则有,16,条件概率密度及分布函数的定义,17,18,答,请同学们思考,由于PY=y可能为0（连续型时一定为0）。故直接使用条件概率来定义时无法克服分母为0的现象。,19,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,联合分布,条件分布函数与条件密度函数的关系,20,解,例4,则,21,22,解,例5,23,24,例6 已知,求,解,25,同理,二维正态分布的两个条件分布均为一元正态分布,26,即 则称随机变量X和Y是相互独立的。,三、随机变量的相互独立性,二维随机变量间的相互独立性 定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y 有,27,说明,(1) 若 对任意的x,y成立，则,证明,由于,28,(2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,29,解,例7,30,(1)由分布律的性质知,31,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,32,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,33,34,若X与Y相互独立，则,取,则X与Y相互独立的充要条件是,例9,（必要性）,证明,35,故,（充分性）,36,解,由于X 与Y 相互独立,例10,37,38,例11 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,39,40,于是,41,例12 设随机变量 X 和 Y相互独立，而且都服从相同的0-1分布 B(1,p)。又设,试求 p(0p1) 的值使得Z与X相互独立。,解 先求 Z 的分布律,42,要使 Z 与 X 独立，则必须有,将i, j代入可得,43,2. n维随机变量间的相互独立性,4