《弯曲变形例题》PPT课件.ppt

1,例1 求如图示等截面直梁的挠曲线方程、用积分法求最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程并积分,解：,x,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分 转角的定义为在某一点出的倾斜度；转角的真正含义。,2,应用位移边界条件求积分常数,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分,其结果为积分常数的不同,3,写出弹性曲线方程并画出曲线,以x为自变量的积分,以(L-x)为自变量的积分,4,最大挠度及最大转角,B的符号为负，表示截面的转角是顺时针方向的； 而挠度fB是负的，表示B点的挠度是向下。,5,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,x,6,用边界条件求积分常数,x,写出AB段的挠曲线方程和转角方程并画出曲线图,x,7,最大挠度(x=L)及最大转角(*BC为直线，故B=C),因为B很小，故f2= B(L-a),8,外力都作用在纵向对称面内的弯曲叫平面弯曲 受外力作用的梁其横截面上-弯曲内力(剪力，弯矩) 横截面上剪力和弯矩的求法 均布载荷，剪力，弯矩三者之间的关系,梁的纯弯曲和横力弯曲；弯曲正应力的求法和分布,中性轴的曲率半径的计算,梁横截面上任意一点正应力的计算,某一横截面上最大正应力的计算,梁的最大正应力的计算,横力弯曲时，矩形，圆形，工字钢等截面上剪应力的分布和计算。一般情况下，由正应力强度条件得出结构尺寸，由剪应力强度条件对构件进行校核,9,度量梁变形的两个基本位移量:挠度 转角 挠曲线及其近似微分方程求法 弯矩方程，转角，挠度之间的关系 怎样用积分法求梁的变形：注意式中的积分常数C，D 利用边界条件确定积分常数： 在铰支座上，挠度v等于零 在固定端，挠度v和转角均为零 在弯曲变形的对称点上，转角等于零 挠曲线是一条光滑和连续的曲线,10,求弯曲变形的二个方法： 1.用直接积分法求梁的弯曲变形（积分常数，分段）,挠曲线方程一次积分：,挠曲线方程二次积分：,2.用叠加法求弯曲变形 载荷叠加、结构固化 是否需要结构固化，要视情况而定； 目的就是把复杂的简单化，并且挠度和转角可 以在表中直接查取。,11,叠加法可分为载荷叠加 结构形式叠加（逐段刚化法） 无论用那种方法叠加，目的就是要把原来复杂的变成简单的，并且使其挠度和转角都可以在表7.1中直接查取的载荷形式。,12,用叠加法求梁变形时的几个注意点,fC,13,例3 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表(7.1)序号5，7查得：,14,叠加,15,例4：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？,16,解：,表7.1中序号2,表7.1中序号1,17,例5-1：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,18,解：,表7.1中序号3,表7.1中序号3,19,解：,表7.1中没有,表7.1中序号7,表7.1中序号4，挠度向上为正,例5-2：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,20,例6-1 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点C的挠度。,解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和,图(b)中点C的挠度为:,图(c)中点C的挠度为零；因为载荷关于C反对称。,叠加:,第七章,21,例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点C的挠度。,解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和,图(b)中点C的挠度为:,图(c)中点C的挠度为：,叠加:,+,=,第七章,22,例7：求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD 。,23,解：,解除B点约束以反力qa代替,24,例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。,25,解：,26,结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,=,+,x,f,x,f,x,f,刚化AC段后,BC段就成悬臂梁了。同时，AC段无外载荷，对BC段无影响。,刚化BC段后,AC段就成简支梁了。BC段上外载荷需移到C截面上，其对AC段有影响如图。外载荷的大小及方向可用外载荷等效法判定。,27,=,外伸梁刚化原理说明,BC外伸梁上作用均布载荷， 刚化AB段，BC为悬臂梁。这种形式可以在表7.1中查取。被刚化的 AB段上由于无任何载荷作用，故对BC段的变形无任何影响。 刚化BC段，BC为自由端。?取而代之均布载荷的等效载荷为作用在B截面上的弯矩和集中载荷；由表7.1查取。平面系内力的迁移。 判断钢化结果的正误:两者载荷之和是否为原来的载荷?,28,习题7.8c EI为常量，用叠加法求图示外伸梁B端的和。,解:1)把复合载荷分解成二个简单载荷的作用；如图(b)、 (c)。图(b)固化DB段；图(c)固化AD段。 图(b)的载荷形式可以在表7.1中直接查取，图 (c)载荷形式无法直接获得；故需对结构进行固化成图(d)和(e)的形式，可直接查表。 在图(d)、 (e)中，截面D上作用的载荷是两对作用力与反作用力。其大小和方向如何求？,(a),(b),(e),+,+,=,=,29,均布载荷q引起B截面的挠度和转角,载荷P引起D截面的转角,弯矩引起D截面的转角?,2) 分别求出简单载荷作用时外伸端B的变形：,(b),(e),固定端虽有载荷，但对DB段的转角和挠度均无影响,集中载荷对DB段的转角和挠度均无影响,表7.1-5,表7.1-3,表7.1-4,30,3) 叠加,B点的转角为：,B点的挠度为：,(a),(b),(e),+,=,+,31,(a),若把CB段作为悬臂梁，自由端B的挠度大小等于原来梁C点的挠度图(b)。,1)由于是变截面，故要分段计算。 首先把DB段作为悬臂梁 图(c)； 自由端B的挠度大小可由表7.1-2求得。固定端D的载荷大小和方向很容易求得，且对DB段的变形不产生任何影响。,解：由变形的对称性可看出： 跨度中点截面C的转角为零，挠曲线在C点的切线是水平的。,习题7.6b 变截面梁如图所示； 试求跨度中点C的挠度。,32,2)其次，D截面上的剪力和弯矩如图(d)所示。这两个载荷将在D截面上产生挠度和转角，其大小可由表7.1-1，7.1-2求得图(d)。,33,3)如图(d)所示，B端由于 ， 而引起的挠度为：,4)叠加 和 ，可求出作为自由端B处的挠度为：,34,习题7.15. 图中两根梁由铰链相互联接，EI相同，且EI=常量。试求P力作用点D的位移。,解：(1)对两根梁受力分析,中间铰链不传递力偶，所以可用外力RE来取代铰链约束，并求出RE=P/2。,35,=,+,(2) 求出梁AE上E点的位移,把AE梁的结构简化成图(c)的悬臂梁及图(d)的简支梁,图(c)悬臂梁：表7.1-2,图(d)简支梁：弯矩的作用使得CE段转动。表7.1-4 受力分析的求解利用！,36,(2)分析EB梁：图(e)由于E点的位移而引起D的位移为:,图(e)简支梁：载荷P的作用使D点产生的位移为(表7.1-5)：,D的位移为：,37,7-6 简单超静定梁,超静定梁：未知力的数目多于静力平衡方程的数目,求解方法： 1.根据静不定次数选取静不定梁的基本结构(静定基) 解除多余约束(个数与静不定次数相同)，用多余约束力代替，得到静不定梁的基本结构；*解除多余约束的方法不同，则基本结构也不同； 2.找变形几何关系(变形协调关系) 即多余约束处梁的变形应满足的条件；比如支座处的位移为零等； 3.求出多余约束处的变形，由此得到补充方程 4.联立求解补充方程和平衡方程，得出约束力 5.求解梁的其它问题(强度、刚度等),38,例11：列出如图示超静定梁的求解步骤,=,A,B,解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。 图(1)把固定端变成铰支座后增加约束反力MA; 图(2)把铰支座B去掉后增加约束反力RB;,39,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题(反力、应力、 变形等),40,几何方程：变形协调方程,解：建立静定基,=,例12 结构如图，求B点反力。,LBC,C,=,+,41,=,LBC,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,公式(2.10),42,例13：图示杆系中，AB和CD梁的抗弯刚度为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD杆的内力。,解：(1)确定静不定梁的基本结构： 取D为多余约束，以外力代之,(2)求变形几何关系,(3)求物理关系,43,(4)补充方程,(5)求BD杆的内力,44,7-7 如何提高梁的承载能力,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,与内力和截面性质有关。,一般来说可采取以下的方法 1）合理安排梁的载荷和支座，以降低Mmax的数值 2）采用合理的截面形状，以提到Wz的数值,45,7.7.1 合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。,46,可以求得：当x为0.207L时，弯矩最小为0.0214ql2,47,7.7.2 合理选择截面的形状，使 Wmax 尽可能大,若把梁的弯却正应力强度条件写成：MmaxW， 则梁可以承受的最大弯矩与抗弯截面模量W成正比； 同时，使用材料的多少和自重又与截面面积A成正比。 即，合理的经济的截面形状应该是W越大，A越小。 引入W/A的比值来评价和衡量截面形状的合理性。,故，竖放比平放的抗弯强度大，(1)比(2)更合理。,48,*矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,49,在面积相等的情况下 一般截面形状的抗弯截面模量大小为：,W框W环W矩W方W园,有了这个概念以后，我们选择截面形状时，尽可能选中间空洞的截面，即可省材料又可减轻重量；尽量避免采用实心和圆形的截面。,50,7.7.3 根据材料特性选择截面形状,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面又处上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,51,7.7.4 采用等强度梁,等强度梁的概念，就是在最大弯矩处的抗弯截面模量达到最大值；而在弯矩沿轴线逐渐减少的地方，其相应的抗弯截面模量也减少；从而达到缩小截面尺寸，节约材料和减少自重的目的。 设计时，可设想截面的尺寸沿梁的轴线改变，即M(x)和W(x)都表示为轴线x的函数，引入变截面等强度梁的概念，使得各截面都能满足强度条件。一般均以正应力为校核指标，即：,有时，在固定端的M(x)=0，这并不意味着该处的截面尺寸可以为零。故需用剪应力来确定最小截面尺寸：,52,7.7.5 选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,53,*例14：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后AB梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后B点挠度的比值。,54,解：(1)变形协调条件为：,(2),P产生的挠度,RD产生的挠度,55,(3),加固前,加固后,由RD引起,由D引起,RD,RD,P,P,56,7.17 图示等截面梁的抗弯刚度为EI。梁下有柱形曲面y=-Ax3，欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力，试问在梁的自由端应作用什么载荷？并确定载荷的大小和方向。,解：根据题意，要使得梁的挠曲线方程为y=Ax3, 在自由端B加上弯矩Me和集中载荷P； (1)用剪力图弯矩图求解,由弯矩和剪力的关系可得：,画出剪力图和弯矩图后，就可得到B端的Me和P；固定端的MA=0。,Q,M,57,+,(2)用叠加法求解,由(1)和(2)可得：,58,(3)用挠曲线方程求解,求出固定端A的反力为：,写出弯矩方程为：,弯矩方程和挠曲线的关系为：,59,又因为：,弯矩为顺时针方向，集中载荷向上。 事实上，固定端的MA=0,60,1.梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面寸； 、设计载荷。,二、梁的刚度校核（未作要求）,61,=,+,+,=,例10 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001, B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,62,=,+,