《收敛准则》PPT课件.ppt

1,2.4 收敛准则,2.4.1 单调有界原理 问题提出 收敛数列有界，但有界数列未必收敛。问有界数列外，还应增加什么条件，是结论成立？ 定理2.4.1 (单调有界原理)单调有界数列必收敛。 证 设数列xn单调增有界，即存在M，使得 x1 xnxn+1 M 由确界原理，由 xn 构成的数集必存在上确界，对 0，存在xN，使得，当nN时，有 xN xn + 亦即 xn +,即,2,例2.4.1 设 x10，,证明数列xn收敛，并求其极限。,，n=1，2， ，,解 因,，n=1，2， ，,又,表明xn+1 xn与xn xn 1同号，即xn+1 xn定号，故xn单调，由单调有界原理， xn收敛。记,3,对,求极限，则有,所以,4,例2.4.2 设0x11，,证明数列xn收敛，并求其极限。,，n=1,2, ,解 因 0x11，设n=k时仍有 0xk1，,，n=1，2， ，,由归纳法，数列xn 有界。,数列xn 单调减。由单调有界原理，知xn收敛，记,5,对,，n=1,2, ，求极限，得,由此解得 = 0，于是,例2.4.3 设,证明数列xn收敛，并求其极限。,，n=1,2, ,解 因 0x1 3，设n=k时仍有 0xk3，,由归纳法，数列xn 有界。又,6,数列xn 单调增。由单调有界原理，知xn收敛，记,n=k，有xk+1xk0，则有,对,求极限，得,由此解得 = 3，于是,7,2.4.2 两个重要极限 ()在引进极限时，多次提到我国的刘徽用割圆术求圆的周长问题。 设圆的半径为r，内接正n边形，每边所对的圆心角为,，接正n边形边长为,，n时，,数列,的极限,应当存在，需给出证明，并求出其值。,8,的符号，几乎不可能，为此考虑两者的比值,令,先证数列,单调。计算,则上式为,9,继而,又,于是,所以,10,数列,单调增。,再证数列,有界性。,半径为r的圆，内接正n边形的面积为,必小于这个正n边形的外接圆的面积4r2，即,11,合上，数列,单调增有界。,故,收敛，记为。,这时,=圆的周长2r；故,=,引进弧度，则有,继而,特点，,是无穷小量。,这是第一个重要极限,12,() 数列,证明 (1) 方法1：直接展开。,，单增有界。,数列,，单减有界。,且,13,所以,，单增。,又因,14,合上,，单增有界。,(1) 方法2：利用算术、几何均数,15,为证有界，由于,表明数列,单调减,16,于是,合上,，单增有界。,两种方法评述：方法1直观，且关于xn的极限有较好的估计，特别是给出,有界性证明方法。并且可以推测,17,方法2简洁但较抽象，在有界性证明中给出了数列yn,是单调减有界的结论。这是方法1所不具备的。,以后将证明，这种第六感觉是正确的。,18,第二个重要极限的特点：无穷小量,合上，极限,第二个重要极限,且由于,故,与无穷大量n,的乘积=1。,19,2.4.3 数列的子列 若数列yn 单调，当数列yn再增加有界这个条件，则数列yn 必收敛。 对于单调数列yn ，还可以增加什么条件，代替 有界条件，仍然保证数列yn 收敛。 另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何使研究其收敛性问题得到简化？,例如，数列xn=,1，0，1，0，1，,能否用数列xn的第1项，第3项，第2k1项，,构成的数列x2k 1 ：1，1，1，是发散的，说明xn也是发散的？(结论：是可以),20,在所举的例中，称数列x2k 1是数列xn的子列；它的定义如下。 定义2.4.1 设数列xn，对于数列 nk，通项nk是正整数，且是严格递增的，则称 xn中按nk排列的数列,为数列xn 的子列。,21,注：数列nk除严格增外，还具有以下性质。,() nkk； () 若nknl ，必有 kl；,(),定理2.4.2(数列与子列的关系) 数列xn收敛数列xn的任意子列都收敛。,() nkk； () 若nknl ，必有 kl；,证明 “” (必要性) 若数列xn收敛于a，,并设a是有限数，则有 0， N，当nN，恒有,是数,列xn任一个子列。由,22,当kN时，因nkk，故nkk， 所以恒有,数列xn 一个子列,所以,“” (充分性) 若数列xn任一个子列都收敛，记,收敛于有限数a。,这样一来，得到一个重要结论： 若数列xn收敛于a，则数列xn任意子列都收敛于a。,23,也是数列xn 的子列，所以收敛。,另一方面,由必要性证明，可知a=b，矛盾！,显然，,是,的子列。,事实上，设xn 两个子列,往证xn所有子列都收敛于数a。,分别收敛于,a，b，(ab )，则取xn 子列,其中,是数集,按正整数大小顺序排列所成的数列。,24,得到数列xn 的子列,它不收敛于a。矛盾！,即00， N， n0N ，有,再证， xn收敛于a。事实上，若xn不收敛于a。,取N1 =1， n1N1 ，有,取N2 max2 , n1 ，n2N2 ，有,取N3 max3 , n2 ，n3N3 ，有,一般地,取Nk maxk , nk1 ，nkNk ，有,同理可证，当a=，+，有相同的结论。,25,据此，很容易判断,推论2.4.1 () 若xn存在不收敛的子列，则xn不收敛。,() 若xn存在两个收敛的子列，,且,则xn不收敛。,等数列是发散的。,26,推论2.4.2 数列xn 收敛奇子数列x2n1与偶子数列x2n收敛，且,证明 “” (必要性)显然。往证 “” (充分性)，由于, 0， N1，当n N1 ，恒有,对上 0， N2，当n N2，恒有,取N=2max N1, N2，当n N，若n=2k，或n=2k1，必有k max N1, N2 ；因而恒有,即,同理可证，当a=，+，。,27,推论2.4.3 若xn是单调的，且存在收敛的子列,证法一 不妨设xn是单调增的，则,则xn 收敛。且,也是单调,增的，并设,，a为有限数。,则 0， K，当kK，恒有,亦即,当然也有,28,取N=nK+1，当nN，由于nnnnK+1K，则有,亦即,所以,证法二 不妨设xn是单调增的，由于,收敛，,则,有界，即 M 0，使得,又因，对任意的 nnn，故,即xn是单调增且有界数列。由单调有界原理，故 xn收敛。再由收敛数列与子列的关系，立得,29,例2.4.4 讨论数列,的敛散性。其中，p是任意实数。,，n=1,2,解 () 对任意实数p ，数列an是严格增。,故,() 当p 0时，由于,30,考虑,() 当0p 1时，由于,31,故,32,考虑,() 当p 1时，由于,33,34,35,所以 an的子列,有界。,再由 an是单调增，故子列,也是单调增。,据单调有界原理，子列,收敛。从而 an收敛。,合上，有如下结论,这是一个非常重要的结论！将在数项级数中，重新遇到。,36,例2.4.5 讨论数列,的敛散性。,，n=1,2,解 () 考虑数列an单调性。,在两个重要极限中，已经证明,是单调减。,37,且,在(1)式中，又得,所以,即an单调减的。以下往证an下有界。,(1),以及,(2),38,由(2)式，则有,据单调有界原理，数列an收敛。记,称c=0.57721566490为Euler常数。,39,2.4.4 闭区间套定理 在两个重要极限中，得到不等式,并有,是递增的；,是递减的；且,在所有闭区间,中，有唯一的实数e。,40,将以上推广到一般情况，就是闭区间套定理。 定义2.4.2 设an , bn是闭区间列，满足 () an , bn an +1 , bn +1 ，n=1 , 2 , 3 , ，即 a1a2 an an +1bn +1 bn +1 b2b1,(),则称an , bn是闭区间套。,定理2.4.3 设 an , bn 是闭区间套，则存在唯一的实数，使得 an , bn ，n=1 , 2 , 3 , ，即 a1 an an +1 bn +1 bn +1 b1,41,证 显然数列an 与数列bn 都是单调有界，故都收敛，记,因为an bn ，所以 a b。以及,所以 = a= b。由a，b的性质，即,亦即 an , bn ， n=1 , 2 , 3 , ，,42,利用闭区间套定理，可进一步讨论数列an 的子列的性质。即致密性定理。,任取 xn 中一项，为,定理2.4.4 设 xn 是有界数列，则 xn 必存在收敛的子列。,证 因 xn 是有界数列，即存在a1 b1，使得 a1 xn b1,则闭区间,与闭区间,至少,有一个含有数列,无限多项。,43,不妨设是闭区间,再在闭区间a2 b2任取,含有数列,无限多项。此时记,的一项，作为,又闭区间,与闭区间,至少,有一个含有数列,无限多项。,不妨设是闭区间,含有数列,无限多项。此时记,44,反复用以上方法得到,且ak , bk ak+1 , bk+1 ，k=1 , 2 , 3 , ,用归纳法，可得,显然,45,由闭区间套定理，则有,又因,由夹逼性定理，得,命题 设 xn 是有上界(有下界)数列，则 xn 必存在的单调增子列(单调减子列)，使得,证毕,注 这个命题不成立。,46,定理2.4.4 设 xn 是无界(无上界，无下界)数列，则 xn 必存在的子列，使得,对于无界数列，则有,推论2.4.5 设 xn 是有上界(有下界)数列，且,则 xn 必存在的严格增子列(严格减子列)，使得,47,2.4.5 Cauchy收敛准则 判断数列xn的收敛方法：数列极限定义，夹逼性定理，单调有界原理。在这些方法中，除了数列xn本身以外，还要对数列xn附加其他条件。实质上数列xn本身就决定了自己的命运。故建立由数列xn自身而不增加其他条件，判定其敛散性方法，是必须的。 为此，研究数列xn收敛于a的实质。按数列极限定义，应是 0， N，当nN， 恒有,48,用数轴表示，应是 0， N，当nN， 恒有,x,a+/2,a,a/2,开区间,结合“ 0， N，当nN”，不用数值a，将这两个特点重新叙述。,具有以下的特点：,() 任意两点之间的距离 ；,() xk+N ,，k=1 , 2 , ,49,重新叙述为： 0， N，当nN，对自然数k ，恒有,这就是著名的Cauchy收敛准则。,当然Cauchy基本列也可叙述为 0， N，当nN，对自然数k，恒有,定义2.4.3 对于数列xn，若 0， N，当nN， mN，恒有,则称数列xn为Cauchy基本列。,50,即 0， N，当nN，恒有,定理2.4.5 数列xn收敛数列xn是 Cauchy基本列。,证明 “”(必要性)若数列xn收敛，设,故对nN， mN，恒有,即数列xn是 Cauchy基本列。,51,特别地对 =1， N0，当nN0，,“”(充分性) 若数列xn是Cauchy列，即 0，,亦即,由有界数列必存在收敛的子列，故数列xn存在收敛子列。不妨设,取,则,即数列xn有界。,N，当nN， mN，恒有,(1),52,由极限定义知，对前 0，N2，当kN2，恒有,故, (2),当nN，取kmaxN，N2 ，因m=nkkN ，此时(1)和(2)式成立，于是恒有,53,例2.4.6 设数列xn满足压缩条件,证 因为,其中，0k1。,则数列xn收敛。,所以,54,由于,故 0，N，当nN，恒有,继而有,所以数列xn是基本列，故收敛。,55,2.4.6 实数的完备性 在实数的性质中，用确界原理描述实数的完备性，,以确界原理为基础 单调有界原理判 闭区间套定理 致密性定理 Cauchy准则,可以证明，它们是互相等价的。 即它们都可以用来描述实数的完备性。 证明方法如右图所示。证明略去。再补充描述实数的完备性的命题。,56,定理2.4.6 (海涅博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H是闭区间a , b的一个开覆盖；则从H中可选出有限个开区间构成的H的子集H0，H0是闭区间a , b的一个有限开覆盖。,定义2.4.4 设S是数轴上非空点集(数集)，H是开区间集合，即 H=( , ) ，是某些实数，且 若 xS，在H中存在一个开区间( , )，使得 x( , )， 则称H是S的一个开覆盖；若H中开区间的个数是有限的，则称H是S的一个有限开覆盖。,57,将以上过程无限进行下去，得到闭区间套 an+1 , bn+1 an , bn；n=1，2， 且an , bn 不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖。以及,证明 当H是有限集，则结论显然真。 当H是无限集时，用反证法证明其结论。 设H的任何有限多个开区间不能覆盖a , b，取a , b 的中点c=(a+b)/2，则a , c，c , b至少有一个不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖，不妨设是a , c，并记该区间为a1 , b1 ，且,58,N，当nN时有 anbn+ ；从而有 anbn+,， 即an , bn 可用( , )H 覆盖，与an , bn 不能用H的任何有限多个开区间不能覆盖相矛盾。 证毕,则存在一点an , bn；n=1，2，,因,由于H是a , b的开覆盖，故存在开区间( , )