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文档简介

一、无穷小,1. 定义与形式,说明 1) 极限为零的变量称为无穷小, 常用 等表示;,1.5 无穷小与无穷大,2) 零是可以作为无穷小看待的唯一的数.,例1,2.无穷小与函数极限的关系,证明,当,时,有,附注 对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理 1,特殊情形：正无穷大，负无穷大:,注意,不能与很大的数相混淆;,2)无穷大是一种特殊的无界变量, 但是 无界量未必是无穷大!,1)无穷大是指绝对值无限增大的变量,二、无穷大,3) 无穷大必定无界, 但反之不真 !,不是无穷大!,而函数,垂直渐近线,几何意义 以x = 1为垂直渐近线；,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,证明 (用定义可证, 留为练习),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2 在自变量的同一变化过程中,说明,四、无穷小比较及其意义与方法,1.引例,这里比值的极限不同,反映了原来函数趋向于 零的“快慢”速度不同.,称不可比较.,观察各极限,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,2. 定义3, 则,例3,时, 有,特别是,例4 证明:,证明,而由,知:,是 x 的二阶无穷小,定理3,证,即,即,3. 等价无穷小的充要条件,此时,亦称 是 的主要部分.,常用等价无穷小有:,例5,解,定理4 设,且,存在 , 则,证明,例6 由上面已知的等价无穷小,有,4.等价无穷小代换及其应用,例7,解,1)若未定式的分子或分母是若干个因子的乘积时,可对其中任意一个或几个无穷小因子作(整体性的)等价代换,这是非常简便的极限求法,注意事项:,切记:只可对函数的因子作等价无穷小代换;对于代数和中的各个无穷小,不能简单地分别作代换.,2)不能滥用等价无穷小代换.,例8 求,解,原式,1. 无穷小与无穷大的概念,2. 无穷小与函数极限的关系,3. 无穷小比较的意义与方法,四、小结与练习,五、作业,1.课堂练习：习题1-5：思考题；1；3；,2.课后作业：习题1-5：1；2；3；,4. 等价无穷小的应用及常用的等价无穷小,若在同一变化条件下, , 为无穷小 ,无穷小的性质, 和差取大规则,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则:,若 = o() , 和差代替规则,例如,附录1 关于代数和中等价无穷小的代换方法,因式代替规则,界, 则,例如,例如,例9,解,迫敛法则,附录2 求极限的方法总结,初等变形法(四则运算、复合运算、无穷大量消去法、零化因子消去法）,重要极限公式法,等价无穷小代换法（注意条件与要求）,特殊
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