《极限的概念》PPT课件.ppt

,第二章 极限的计算,第一节 极限的概念,1.1 数列的极限,利用圆内接正多边形来推算圆面积割圆术:,圆内接正六边形面积,圆内接正十二边形面积,圆内接正二十四边形的面积,面积值构成一列有次序的数,一、数列极限的定义,1.问题的引入,内接正多边形与圆的差别越小,内接正多边形无限接近于圆,刘徽.ppt,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,例如,2.数列的定义,从几何上看,数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点在数轴上依次取,数列是自变量取正整数的函数,观察重点:,3.数列极限(sequence limit)的定义,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察得:,方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝对值(即距离)来表示.,数列极限的定义:,例如,趋势不定,收 敛,发 散,关于定义的说明:,(3) 几何解释:,(4) 极限概念的简写形式,(5) 数列极限的定义未给出如何求数列的极限.,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(其值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义3 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,关于定义3的说明:,例2. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例3. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,例4. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,2. 左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 1 .,例5. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 1 .,因为,显然,所以,不存在 .,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义4 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,例6. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,三、无穷大量与无穷小量,“任意大”就是不论事先指定一个多么大的正数，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，变量的绝对值就可以大于那个事先指定的大正数。,1.无穷大量,定义5 如果对于任意给定的正数E，变量y在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式 |y|E 恒成立，则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大。记作 lim y=。,再如：,1.无穷大是一个变量，而不是数。,2.函数的极限是无穷大,表明其 极限不存在。,注意:,以0为极限的变量 y 称为无穷小量。,定义6 对于任意给定的正数e ，如果在变量y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，总有不等式 |y|e ， 则称变量y为无穷小量。,所以当 x0时，变量 y=x2 为无穷小量。,为无穷小量。,所以当x-时，变量ex为无穷小量。,2.无穷小量,例1,例2,例3,注意：,1）无穷小是一个以0为极限的变量，而不是一个数,因而0是无穷小。,2）当 时，满足无穷小的定义，,定理3 如果变量a是无穷小量，变量y是有界变量，则变量ay是无穷小量。,定理2 变量y以A为极限的必要充分条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和。即 lim y=Ay=A+a， 其中lim a=0。,无穷小量的性质（了解）,同理可证(2)。,定理4 在变量y的变化过程中，有,证：(1)设y是无穷大量，