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文档简介

平面向量的数量积 及运算律,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。,=180, =90,向量的夹角,已知两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。,=0,特殊情况,O,B,A,当=0时，a与b同向,当=180时，a与b反向。, =90，a与b垂直，记作ab。,说出下列两个向量 a 和 b 的夹角的大小是多少？,定 义,注意：向量的数量积是一个数量。,探究：两个向量的数量积与向量同实数积有那些区别？,（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。,（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.,（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？,（4）由ab = bc 能否推出a = c ？,(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc),显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。,解：ab=|a| |b|cos=54cos120 =54（-1/2）= 10。,例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,练习：p130-2,3,投影也是一个数量，不是向量；,当=0时，|b|cos是|b|,当=180时， =|b|cos是|b|。,当=90， |b|cos是0。,当为锐角时， |b|cos是正值；,当为钝角时， |b|cos是负值；,数量积的几何意义：,思考：,ab=|a| |b| cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当 =90时ab为零。,设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 （1）ea=ae = |a| cos,重要性质:,（5）|ab|a|b|,(6) (a+b)2=a2+2 ab+b2,四.课堂练习,判断下列各题是否正确,(1)若a=0,则对任意向量b,有ab=0- (2)若a0,则对任意非零向量b,有ab0- (3)若a0,且ab=0,则b=0 - (4)若ab=0,则a=0或b=0 - (5)对任意向量a有a2=a2 - (6)若a0且ab=ac,则
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