《生命表基础》PPT课件.ppt

第四章 生命表基础,第一节 生命函数 4.1.1 分布函数 4.1.2 生存函数 4.1.3 连续型未来寿命的生存分布 4.1.4 离散型未来寿命的生存分布 4.1.5 死力 第二节 参数生存模型 4.2.1 均匀分布 4.2.2 分布 4.2.3 分布 4.2.4 分布 第三节 生命表 4.3.1 传统生命表 4.3.2 生命表函数,4.1 生命函数 4.1.1 分布函数 一个新出生的婴儿，其死亡年龄 是一个连续的随机变量，则其分布函 数为： 假设分布函数可导，对其求导，得到其概率密度函数 从而有： 其期望为： 二阶矩为： 方差为：,若将新生婴儿的死亡年龄 取整数，且用 表示，即 ，则 离散型随机变量 的概率分布律为： 分布函数为： 期望： 方差,4.1.2 生存函数 新生婴儿死亡年龄 的分布函数为 ，则 为新生婴儿的生存函数，即： 上式表示新生婴儿能活到 的概率。 的性质： 人的寿命是有限的，通常不超过某一特定年龄，用 表示极限年龄，则：,新生婴儿在年龄 与 岁之间死亡的概率为： 新生婴儿在 岁时仍活着的条件下，在年龄 岁与 岁之间死亡的条件 概率为： 新生婴儿在 岁仍生存的条件下，在年龄 岁与 岁之间死亡的条 件概率为： 现引入符号 表示年龄为 岁的人， 表示新生婴儿的死亡年龄，则该新生 婴儿在 岁仍活着的条件下，未来仍生存的时间是 ，则称 为该新 生婴儿在 岁的未来寿命，记为 ，即该新生婴儿在 岁时仍存的条件下， 有,4.1.3 连续型未来寿命的生存分布 用国际通用的精算符号来描述随机变量 的概率分布 符号 表示 将在未来 年内死亡的概率，是 的分布函数 符号 表示 将在 岁时仍生存的概率，是 的生存函数。 当 时， ，即0岁新生婴儿的未来寿命就是刚出生婴儿的死亡年 龄，有 当 时， 可以写为 ，表示 在未来一年内死亡的概率； 可以写 为 ，表示 在 岁时生存的概率。 另外，符号 表示 在生存 年后， 在 岁与 岁之间死亡 的概率，即： 当 时，符号 可简写成,与生存函数 之间的关系 由于 的未来寿命 ，隐含着新生婴儿在 岁时仍生存的前提条 件，所以事件 与事件 是同一事件，从而 的 分布函数为： 对于 ，则有： 上式表明： 在 岁与 岁之间死亡的条件概率，等于 在 岁时仍生存的条件概率与 在以后的 年内死亡的条件概率的乘积。,4.1.4 离散型未来寿命的生存分布 记 表示 未来寿命的整年数，即 ，是 的最大整数部 分。例如，若 ，则 ；若 ，则 是取值于非负整数集上的一个随机变量，对于任意非负整数 ， ，则随机变量 的概率分布律为： 由于 因此 在不易混淆的情况下，通常将符号 简写为 ，符号 简写为,4.1.5 死力 死力：在到达 岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为 ， 其基本关系式为： 对上式从 到 进行积分，得： 即： 或,当 时， 从而随机变量 的分布函数与概率密度函数为： 的分布函数与概率密度函数分别为：,4.2 参数生存模型 4.2.1 均匀分布 均匀分布于1724年由Abraham de Moivre 首先建议作为人类的生存模型 死亡年龄 在 服从均匀分布， 为极限年龄 死力函数： 分布函数： 生存函数： 密度函数：,4.2.2 分布 于1825年提出将该分布作为人类生存模型 死力函数： 其中 分布函数： 生存函数： 密度函数：,4.2.3 分布 于1860年对 分布进行了修改 死力函数： 其中 分布函数： 生存函数： 密度函数： 当 时， 分布就简化成 分布,4.2.4 分布 在1939年创建 死力函数： 其中 分布函数： 生存函数： 密度函数：,4.3 生命表 4.3.1 传统生命表 传统生命表即为表格生存模型，用 表示一组新生婴儿的数目， 表示在 岁时该组新生婴儿仍存的个数， 随着 的增大而减少 传统生命表示例 赋予 以概率的意义，在二项概率模型 的作用下，有 因此， 就是在一个初始有 个新生命的群体中生存到 岁时个体的期望 数。,4.3.2 生命表函数 符号 表示在年龄 到 之间的死亡个数，当 时， 就是 ，也 可认为 是年龄 到 之间的期望死亡个数，因为： 因此 ， 是二线概率模型 的数学期望。 还可得出：,假设 是连续且可导的函数，死力函数可由此得出： 通过简单的变量代换，可得出死力的常用表达式 例题 根据传统生命表求 1.在2岁到4岁之间的死亡人数 2.1岁的人生存到4岁的概率 解:1. 2.,生命表中年龄为 岁的生存人数 在一年（ 岁至 岁）内的生存人年 数，记为 ，即年龄为 岁的 生存人数 自 岁至 岁止生存人的年数， 则： 假设每个生存者的死亡年龄 在 上服从均匀分布，则 故 生命表中自 岁以后各年龄的生存人年数的总和称为累积生存人年数，记 为 ，则 或,生命表中年龄达到 岁的人数 ，其以后生存的平均年数称为 岁时的完 全平均余命，记为 ，则 运用分部积分法，得： 特别地，零岁时的完全平均余命 就是零岁组群体的平均预期寿命 记 ，则称 为在 岁时的简约平均余命，则有：,与 的方差 对于随机变量 的方差，类似有：,例题：已知随机变量 的概率密度函数为 求 与 解： 因此,4.3.3 尾龄的若干种假设 死亡均匀分布假设（UDD假设） 若生存函数 满足关系式： 则 在 上死亡服从均匀分布，简称死亡均匀分布 在此假设下：,常值死力假设（CFM假设） 生存函数 满足： 其中 在此假设下：,Baldcuui 假设 生存函数 满足： 在此假设下：,4.3.4选择终极生命表 对现年 岁的生存者进行观察，则可获得比新生婴儿单纯生存到 岁更多 的信息，例如刚通过保险体检或刚开始对某种疾病进行治疗等，如若再用原 始生存函数计算有关 的未来寿命的概率，显然不妥，在这种情况下，需要 能反映新获得信息的特殊生存函数，并为此建立一个特殊生命表。 年龄为30岁的人在 岁与 岁之间死亡的条件概率，记为 选择终极生命表（部分）,上表的第一行第一列中的下标 表明是在30岁获得特殊信息后的生存函 数，第一行的数值是在30岁获得特殊信息后的死亡概率，像这样的生存表称 为选择生命表。 选择对于 未来寿命 的概率分布的影响，会在选择之后逐渐消 失，经过一段时间后，选择与不选择的生存者的死亡概率将基本上相同，具 有这种性质的生命表称为选择终极生命表。 表中的前三列就是选择生命表，第四列为终极死亡概率，由此编制的生 命表称为终极生命表。 对于超过选择期的有关死亡概率，是以达到的年龄为下标的。例如，若 选择期为 ，则 都可以写成 32岁的生存者有三个死亡概率 ，且