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离散模型-层次分析法 -何旭,基本思想： 是对一些较为复杂，较为模糊的问题进行综合、总结、提炼，形成多层次、多因素的问题后作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。 Saaty.T.L(萨蒂）等人于上世纪70年代提出了一种定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法， 称为层次分析法（AHP）。,层次分析法的基本步骤： 一、分析问题，建立层次结构模型 即目标层、准则层、措施层 例:在C语言课程中提高学生编写程序能力的研究？ 目标层 编程能力O 准则层 读程序C1 画框图C2 写程序C3 措施层 语 法P1 习题 P2 综合程序设计P3,准则层中各因素对目标的影响不同。 建立层次结构是层次分析的基础，它是将思维过程结构化、层次化的过程。 二、构造出各层次中的所有判断矩阵 判断矩阵构造： Saaty等人建议采用对因子进行两两比较建立成对比较矩阵。即取两个因子Xi和Xj,以aij表示Xi和Xj对目标(编程能力)的影响大小之比，全部比较结果用A=（ aij）nn表示，称为A对oX的成对比较矩阵（判断矩阵）， Xj和,Xi对O的影响是1/ aij。 关于aij的取值，Saaty等建议引用数字1-9及其倒数作为标度。他们实践认为使用5级判断较为合适，即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度， aij相应地用1、3、5、7、9表示，在差别介于两者之间时用2、4、6、8表示。,例： 判断矩阵是对称矩阵。表示相等（一般）、强、较强，可以计算它们对O影响的比例（后）。,三、层次单排序及一致性检验 由于判断对O用1、3、5进行判断不一定正确，所以上述矩阵构造是否合理（一致性），需要进行检验。如果判断正确，就一定是一致性矩阵。 一致性矩阵的表示，例如：将一块大石头分成N块小石头W1、W2、W3、W，如判断正确，则构成一致性矩阵：,1 W W W W W W W W,一致性矩阵的性质： 、必为正反矩阵 、的转置矩阵也是一致性矩阵 、的任意两行成比例 、的最大特征根max=n 5、特征向量W=（W1，W2， W）T,为确定多大程度的一致性是可以容忍的， Saaty等采用了以下的办法： 1、一致性指标CI=（max-n）/（n-1） 2、随机一致性指标： RI= （max-n）/（n-1） 对n=1,2,11给出了RI的值。 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51,3、随机一致性比率 CR=CI/RI Saaty认为，在CR 0.10时判断矩阵的一致性比较满意，否则要重新调整判断矩阵，直到一致性比较满意为止。 大家可以看出,关键是求出的值和特征向量 W=（W1，W2， W）T 层次分析法给出了三种方法。 1、方根法 步骤： 求判断矩阵每行的乘积 求Mi的n次方根,对 进行标准化，求特征向量各分量的近似值 求A的最大特征的近似值 2、幂法,3、和积法 步骤： 将判断矩阵A的每一列标准化 令 将 中元素按行相加得到向量,将 标准化，得到W，即； W即为A的近似特征值 求最大特征根近似值,例如：工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金，扩建企业的福利实施和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。,1、构造模型 目标层： 合理企业利润 O 准则层：调动职工 提高企业 改善职工 C 积极性 技术水平 工作生活条件 措施层： 发奖金 扩建福利事业 引进新设备 P,2、构造O-C成对比较矩阵 O C1 C2 C3 C1 1 1/5 1/3 C2 5 1 3 C3 3 1/3 1 即A= 于是计算A的最大特征根是max=3.038,CI=0.019,查表得RI=0.58，故CR=0.033。因此CR0.1,接受矩阵A,求出A对应于max的标准化特征向量W=(0.105,0.637,0.258)T，即C1、C2、C3对O的权重。 类似求措施层中的P1，P2对C1的权值，P2，P3对C2的权值和P1，P2对C3的权值：,C1 P1 P2 C2 P2 P3 C3 P1 P2 P1 1 3 P2 1 1/5 P1 1 2 P2 1/3 1 P3 5 1 P2 1 max=2 max=2 max=2 CI=CR=0 CI=CR=0 CI=CR=0 W=(0.75,0.25)T W=(0.167,0.833)T W=(0.667,0.333)T,最大特征根及求解过程： 1、方根法 A= 求 得：,每行元素相乘,标准化得：,CI=（max-n）/（n-1) =(3.037-3)/(3-1) =0.0185 CR=CI/RI =0.0185/0.58 =0.032 则 CR0.1，对比较矩阵一致性比较满意,2、和积法,CI=（max-n）/（n-1) =(3.039-3)/(3-1) =0.0195 CR=CI/RI =0.0195/0.58 =0.033 则 CR0.1，对比较矩阵一致性比较满意,同理可以求措施层的特征向量为 W=(0.75,0.25)T W=(0.167,0.833)T W=(0.667,0.333)T,因此 目标层： 合理企业利润 O 准则层：调动职工 提高企业 改善职工 C 积极性 技术水平 工作生活条件 措施层： 发奖金 扩建福利事业 引进新设备 P,0.105,0.637,0.258,0.75,0.25,0.167,0.833,0.667,0.333,四、层次总排序及一致性检验 即由最高层到最低层，逐层计算各层中的各因素对于总目标的相对重要性权值，方法是： 层A A1 A2 Am B 层总排序权值 层B a1 a2 am B1 b11 b12 b1m Bm bn1 bn2 bnm,例如: 层C C1 C2 C3 层P的总排序权值 层P 0.105 0.637 0.258 P1 0.75 0 0.667 0.105*0.75+0*0.637+0.667*0.258 P2 0.25 0.167 0.333 0.105*0.25+0.167*0.637+0.333*0.258 P3 0 0.833 0 0.105*0+0.833+0*0.258 层P的总排序权值是(0.251,0.218,0.531),也可以如下计算: B层随机一致性比率为,其中aj为(0.105,0.637,0.258),由于P层对C层的三个判断矩阵的CI均为0,所以P层总排序的随机一致性比率为CR=0,因此,层次分析结果合理。 结论：将留成利润的25.1%用于发奖金,21.8%用于扩建福利事业,53.1%用于引进新技术新设备。,讨论: 1、 m