《留数定理》PPT课件.ppt

第四章 留数定理及其应用,4.1 留数 留数定理,一、留数,若z=b是函数f (z)的孤立奇点，则f (z)可在z=b邻域内展成罗朗级数:,设l为0|z-b|R内任一绕z=b的简单曲线，将上式两边沿l逆时针方向积分,根据第二章的讨论：,定义: f (z)在孤立奇点z=b邻域内的罗朗展开式中(z-b)-1项的系数叫做函数f (z)在z=b的留数，记为: （为邻域内任一沿正向绕的闭合曲线）,例 求函数 在奇点z=0和z=2i上的留数.,解：f (z)把在z=0邻域内展成罗朗级数,把f (z)在z=2i邻域内展成罗朗级数，由于 在z=2i解析，所以可在展成泰勒级数.,二、留数定理,设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线. 若除有限个孤立奇点bk，k=1,2,3,m外，函数在G内单值解析. 则：,【证】 以各奇点为圆心，以有限小的半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇点的区域为复连通区域，f (z)在该复连通区域内解析，根据复通区域的科希定理：,即f (z)沿闭曲线l逆时针方向积分之值，等于f (z)在l所包围的区域内各奇点的留数之和乘于2i.,三、无限远点为孤立奇点时的留数,在z=邻域内的罗朗展开式为:,两边沿顺时针方向积分,因此f (z)在z=的留数为f (z)在z=邻域内的罗朗展开式中z-1项的系数的a-1相反数，即,若f (z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负幂项， f (z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远点为可去奇点时， f (z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时，Res f ()一般不为零.,四、推论,若函数f (z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函数f (z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零. 此定理称为留数和定理.,【证】 设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围在内，则：,无限远点的留数为：,两式相加，得：,因此,若f (z)在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留数，再用留数和定理求出该点的留数.,4.2 留数的计算方法,从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点上留数的计算.,若z=b为f (z)的单极点，则f (z)在z=b邻域内的罗朗展开式为：,两边同乘以z-b，得：,令zb，得：,写成：,【证】,洛必达法则：,若z=b为f (z)的m阶极点，则在z=b邻域内的罗朗展开式为：,上式两边同乘于(z-b)m得：,两边对z求导m-1次，令zb，则：,m阶极点的留数的计算公式,例1、求 在各奇点上的留数.,解：z=0是f (z)的三阶极点，则 :,z=2i是f (z)的单极点 ,则：,也可把f (z)写成 :,z=是f (z)的可去奇点，应用留数和定理，得：,也可把f (z)在z=的邻域展成罗朗级数:,显然上式中z-1项的系数a-1=0，故,例2、求 在各奇点上的留数.,【解】 z=k（ ）是f (z)的单极点,其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:,由于z=不是f (z)的孤立奇点（是各奇点z=k当 时的极限点），因此在z=的留数没有意义.,例3、求 在各奇点上的留数.,或,z=是f (z)的本性奇点，根据留数和定理:,例4、求积分：（1） ；（2） .,解：（1） 内有一单极点z=0，根据留数定理：,（2）|z=|2内有两个单极点z=0和z=1，,该结果于第二章中科希公式求出的结果相同，用留数定理更加简单.,根据留数定理:,4.3 实函数定积分的计算,留数定理的重要应用之一就是计算实函数定积分.,基本思路：把实函数定积分于复函的闭合回路积分联系起来，再利用留数定理计算后者，从而求出实函定积分.,基本方法：,（2）作辅助函数. 如求积分 ，引入辅助曲线C，“变”直线段为闭合曲线，作辅助函数F (z)，“变”实函为复函，并使F (z)在a到b的直线段于曲线C构成闭合曲线l内除有限各孤立奇点外解析，则：,在闭曲线所包围的区域内各奇点上的留数之和.,其中 可以化为原积分 ，而 或为零或可表为原积分，曲线C可以是圆弧、半圆弧，圆或直线段，在许多情况下F (z)是f (x)的延拓函数f (z)，但也可能不是f (z).,一、三角函数有理式的积分,积分 ，积分区间为0,2，R(cos,sin)为cos，sin的有理函数.,作变换 ，当从0到2，z则绕单位圆逆时针运行一周.,例1、求积分,【解】令,为 的单极点，,其中 在单位圆|z|=1内，则：,例2、求积分,【解】令,为 的单极点.,其中一个极点 的模为：,不在|z|=1内,其中一个极点 的模为：,故 在单位圆|z|=1内，则：,二、有理函数的积分,积分 ，积分区间（-,），f (x)延拓成f (z)，满足：,在实轴上无奇点而在上半平面除有限个孤立奇点外解析；,若f (x)可以写成有理分式,要求q (x)无实零点；,该两个条件是一致的。,q (x)的最高幂次至少比g (x)的最高幂次高两次。,满足当|z|时，zf (z)在上平面和实轴上一致趋于零。,由所给条件当|z|（R）时，zf (z)在上平面和实轴上一致趋于零。,例1、求实函定积分,【解】把 延拓到复平面上 ，,例2、求实函定积分,【解】把 延拓到复平面上 ，,z=i为f (z)在上半平面上的n阶奇点，,且,留数定理求有理函数积分的步骤：,作函数延拓： f (x)f (z);,找出奇点：上半平面上的所有有限远的奇点。,计算留数：上半平面上所有有限远奇点的留数之和再乘于 2i.,其中,广义积分科希主值：,证明从略,例 计算,【解】满足有理函数积分的各条件，,三、混合型积分,积分,此类型的积分的积分区间为(-,)，f (z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点外解析；且当|z|时，f (z)在上半平面和实轴上一致趋于零，则：,【证】作辅助函数,令R，根据约当引理:,（注意：上式中是 而不是 和 的留数值）,例1、求积分,【解】如图作辅加曲线，辅助函数：,根据约当引理：,f (z)在实轴上无奇点，z=ai为f (z)在上半平面的单极点,比较其实、虚部，有：,奇函数对称区间积分必为零,例2、求积分,【解】辅助函数：,f (z)在实轴上无奇点，z=ai为f (z)在上半平面的二阶极点；当|z|，f (z)0.,比较实、虚部，可得 :,例3、求积分,【解】辅助函数：,在实轴无奇点，在上半平面上有,单极点 ；且当|z|时，f (z)0，则：,例4、求积分,【解】辅助函数：,在上平面上无奇点，,在实轴上有单极点z=0，故作Cr绕过z=0点；,且,因此，,令r0，R，根据约当引理：,把 在z=0的邻域内展成罗朗级数:,推论：,当m0时，,当m0时，,（四）广义积分科西主值的计算定理,定理1:,|z|时，zf (z)在上半平面和实轴上一致趋于零；,则：,其中am (m=1,2,k)为在上半平面上的有限远孤立奇点。,f (z)在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在实际轴上有n个一阶极点b1，b2，bn.,定理2,对于积分 ，若 :,|z|时，f (z)在上半平面和实轴上一致趋于零；,f (z)在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在实际轴上有n个一阶极点b1，b2，bn.,则：,其中am (m=1,2,k)为在上半平面上的有限远孤立奇点。,辅助函数:,例1、求积分,【解】辅助函数,上半平面的奇点 ，实轴上的单极点z=1；,在上平面和实轴上一致趋于零。,例2、求积分,【解】辅助函数,f (z)在上半平面无奇点，在实轴上有单极点z=0；,在上平面和实轴上一致趋于零。,例3、求积分,【解】,辅助函数,F (z)在上半平面无奇点，在实轴上有单极点z=0；,例4、求积分,【解】辅助函数,在上平面有奇点z=ai，在实轴上有单极点z=0；,例5 求积分,【解】辅助函数,F (z)在上半平面上无奇点，在实轴上有单极点z=0.,=非零有限值，故z=0是F (z)的一阶极点；,故:,五、推广的广义积分科希主值的计算定理,定理1:,当|z|时，zf (z)在上半平面和实轴上一致趋于零；,在上半平面除有限个孤立奇点外解析，在实轴上有n个极点b1,b2,b3,bn；,存在. 则:,（其中am为f (z)在上半平面上的有限远孤立奇点）,定理2,当|z|时，f (z)在上半平面和实轴上一致趋于