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立体几何中的向量方法,贺军辉（沅江）,C,B,B1,C1,A1,A,如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是等腰直角三 角形，BAC=90，AB=1，BC=BB1，E、F分别为AB、 AC的中点,D为EF的中点。试求直线B1D与平面ACC1A1所 成的角 。,F,E,从形：,从数：,实例：o点处有个人想去Q点，可不知道路，警察告诉他说往北走150米就到了。若改变此人当时的位置或者警察说错了，他还能准确地找到Q点吗？类似的，你如何找到（确定）空间的一个点p？,一、用向量表示点、线、面,练习：如图，长方体的各棱长分别为2、3、6，请以A点为基点说出A1、C1、D1的位置向量及这些点的坐标。,A,p,从形上：,从数上：,一个定点和一个方向向量可以确定直线及直线上的任意 一点。,共线,从形：,从数：,一个点和两个向量能确定一个平面及平面内的任意一点。,如图，你能否用向量来表示平面上的任意一点P？,有序实数对（x,y）与点P是一一对应的,请举例说说一个平面的法向量。并说说你能得出哪些结论,（1）一个平面的法向量有无数个。,（2）平面的法向量与平面上的任意向量是垂直的。,从形：,从数：,一个定点和平面的一个法向量，不仅可以表示出平面，还可以表示出平面内的任意一点。,直线的方向向量和平面的法向量太重要了,是否还有其它用向量确定平面的方法？,a1a2+b1b2+c1c2=0,有了向量的运算，才有几何关系的结论。,l,(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2),a1=ka2, b1=kb2, c1=kc2,二、用向量表示立体几何中的垂直、平行和夹角,线线、线面、面面之间的平行和垂直,练练看: 见教材P104,公式有何好处？,解：如图，建立空间直角坐标系A1xyz,则A1(0,0,0)，B1(0,1,0) 所以,由条件可得BB1= , D( , , ),用向量方法还有另解吗,C,B,B1,C1,A1,A,F,E,如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=1，BC=BB1，E、F分别为AB、AC的中点,D为EF的中点。试求直线B1D与平面ACC1A1所成的角 。,小结：,（1）数形结合的思想和类比思想，用空 间向量示立几中的点、线、面及其 位置关系以及求线面角。,（2）没有运算，向量只能是路标,（3）直线的方向向量和平面的法向量 尤为重要,向量是躯体， 运算是灵魂,作业：见教材 P1
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