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文档简介

第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,平面及其方程,一、平面的点法式方程,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,由平面的点法式方程,二、平面的一般方程,得平面方程一定是三元一次方程.,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的解,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,因此三元一次方程一定是平面方程.,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,一定过原点 ,平面与x轴平行,设平面是为,将三点坐标代入得,解:,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,设平面与x, y, z三轴分别交于P(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c),(其中a,b,c不为0), 求此平面方程.,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,a,b,c,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,例4: 求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,化简得,令,所求平面方程为,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,例5. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 假设平面有一法向量为,和,且,外一点,求,例6. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,课堂习题,1.求过
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