数列极限课件

第二章 极限与连续,2.1 数列极限,极限的重要性,（1） 极限是一种思想方法,（2）极限是一种概念,（3） 极限是一种计算方法,从认识有限到把握无限,从了解离散到理解连续,微积分中许多概念是用极限定义的,许多物理、几何量需要用极限来求,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,数列的概念,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 总成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,数列极限的几何意义, 0, NN 当nN时 有|xna| .,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),分析:,例1,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,例2,分析:,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,分析:,例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,当nN时, 有,因为 0,证明,N= log|q|e +1N, 0, NN 当nN时 有|xna| .,例4,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例5,证,例6. 证明,证: 0,要使,则当nN时, 有,(要证N, 当nN时, 有,例7.,证:, 0,由于,要使 | xn a | ,则当 n N 时,有,例8.,证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立.,(2) 设 a 1,从而, 1+ nn,伯努利不等式, 0,(3) 设 0 a 1,即 0, N, 当nN时, 有, .,(因 0 a 1),综合得,2数列极限的运算,数列极限的运算法则 ：,解,例2 求下列各极限:,解,夹逼定理(两边夹定理,迫敛性定理),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,例. 证明,证: 利用夹逼定理 .,且,由,证,证,由绝对值不等式, 得,注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, (1)n.但也有例外的,如当a=0时是成立的.,收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,使当nN时, 同时有,因此同时有,这是不可能的. 所以只能有a=b.,证明,注: 如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列xn是无界的,收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,1 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如何？,讨论,收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论4 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),数列的单调性,单调增加,不减少的,单调减少,不增加的,统称为单调数列,数列,数列的有界性,数列的有界性的定义,如何定义数列无界？,有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？,想想：,从数轴上看, 有界数数列 xn 的全部点,都落在某区间 (M*, M* ) 中.,一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).,现在来讨论如何定义数列的无有界性：,首先看有界性定义的关键所在,对所有的,证,分析,单调有界定理 单调有界数列必有极限,几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,例. 设,证明数列,极限存在 .,证: 利用牛顿二项式公式 , 有,大,大,正,又,比较可知,根据单调有