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第一章 极限与连续,1.1、极限,I、知识要点,一、极限的概念与性质,(1)、数列的极限,(2)、函数的极限,1、极限的概念,2、极限的性质,(1)有界性,(2)唯一性,(3)保号性,推论,定理,(4)极限运算法则（四则运算）,(5)复合函数的极限运算法则,二、无穷小,1、定义:,2、无穷小的性质,（局部）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,定义:,3 无穷小的比较,三、求极限的方法,1、利用极限的四则、复合函数极限的运算法则,2、利用极限存在的两个准则：,夹逼准则、单调有界必有极限,3、两个重要极限,1.,2,5 利用等价无穷小替换,常用的等价无穷小关系：,以上各式中的x都可换成u.,II、典型例题,一. 求极限,方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、无穷小的运算法则。,通过因式分解，分母、分子 有理化消去零因子法求极限,1、利用极限的运算性质,(无穷小因子分出法),例2,一般:,2、利用 重要极限,例1,解,解：属1型极限问题,原式,3、利用等价无穷小替换求极限,例1,解,由夹逼准则得,4、利用夹逼准则,例3求,解,(1)先证明单调有界,方法：1）、归纳法,2）、利用函数,5、 利用 单调有界准则,对于递归数列极限的求法,(2)根据递推公式两边求极限。,解,例2,证,(舍去),6、 利用左右极限,一般分段函数求趋于分段点的极限用左右极限，特别含有以下几个极限也用左右极限,例1 求,解:,原式 = 1,注意此项含绝对值,二、 已知极限求参数,解 a=4,例2.,解:,例3已知,解：由题设知,进而知,于是有,三、 无穷小的比较与阶的估计,1、 无穷小的比较,方法：求极限（等价替换、洛必达法则 ）,2、确定 无穷小的阶的方法,(1)、利用求极限（等价替换、洛必达法则）,(2)、利用无穷小阶的运算性质,(3)、利用泰勒公式,例1. 选择与填空,1.2、连续与间断,I、知识要点,一、函数连续的概念与性质,1.连续的定义,定理1,2 连续函数的运算,1) 连续函数的四则运算,定理2,2) 复合函数的连续性,4) 初等函数的连续性,定理3 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,二、函数的间断点及类型,2、间段点的判别方法：,四、闭区间上连续函数的性质,1、有界性与最大值最小值定理,2、介值定理,II、典型例题,一、讨论函数的连续性,1、判别函数连续的方法；（1）用定义。,（2）、初等函数的连续性。,例1.,分析:,解:,二、判别间断点的类型,间断点存在于:函数无定义点(分母为零的点),分段函数的分段点可能是间断点,间断点类型的判别实质是求极限,例1.,(A) 可去间断点,(B) 跳跃间断点,(C) 振荡间断点,(D)
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