上课133函数的最大小值与导数.ppt

1.3.3 函数的最大（小）值与导数,2019年5月16日星期四,1.用导数求函数单调区间的步骤：,求函数f(x)的导数f(x).,令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.,令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区 间 .,一、复习引入：,2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:,3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:,(1)确定函数的定义区间，求导数f(x),(2)求方程f(x)=0的根,注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.,若 满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值,2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:,3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:,(1)确定函数的定义区间，求导数f(x),(2)求方程f(x)=0的根,注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而 不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数 为零的点取到.,若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值,(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间 分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方 程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值.,我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果 是函数 的极大(小)值点，那么在 附近找不到比 更大(小)的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心函数在某个区间上哪个值是最大，哪个值最小，如果 是函数 的最大(小)值点，那么 不小(大)于函数 在相应区间上所有函数值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,练、函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的 函数值为f (4) =20 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，,可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=5,解：设g(x)=,f(x)在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数 g(x)在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数,经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件,含参数的最值问题,例4、设 为常数，求函数 在区间 上的最大值和最小值.,例5、设 ，函数 的最大值为1，最小值为 ，求 、 的值.,由函数的最值求参数的值,与函数最值有关的恒成立问题,例4、已知函数 . (1)若函数 在 和 处取得极值，试求 、 的值； (2)在(1)的条件下，当 时， 恒成立，求 的取值范围.,含参数的最值问题,例3、已知 是实数，函数 . (1)若 ，求 的值及曲线 在点处的 切线方程； (2)求 在区间 上的最大值.,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:,练习:,最大值 f (1)=3，最小值 f (3)= 61,P31练