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文档简介

1,第五节 全微分方程,显然全微分方程（1）的隐式通解为,2,例 1 求解,解, 所给方程是全微分方程。,取 、 ，有,所以，方程的通解为,3,例 2 求解,解,由,将方程两端同乘以 ，则化为全微分方程,知 是一个积分因子。,即,即 y = C x 。,4,例 3 求微分方程 的通解。,解,取积分因子,原方程化为全微分方程,取 、,即得微分方程的通解为：,补充,5,(1),6,解:,显然该方程不是全微分方程,但,所以该微分方程有积分因子:,两边积分得:,或,补充,7,熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如,8,解:,显然该方程不是全微分方程. 将原方程改写为:,又,取积分因子,则方程化为:,两边积分的方程的通解为:,补充,9,例 6 求微分方程 的通解。,解,它不是全微分方程。,重新组合得：,两边积分得：,即方程的通解为:,补充,10,第七节 可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程,例 1 求微分方程 的通解。,解,这就是所求的通解。,对所给方程积分三次得,11,二 、 型的微分方程(不显含 y ),对应的微分方程 就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程,设其通解为,则又得到一个一阶微分方程,两端积分便得原方程的通解为,12,例 2 求解初值问题:,解,令,两边积分得,两端再积分得:,于是所求的特解为,即,分离变量后，有,代入方程得,13,例 3 悬链线的方程（将一均匀、柔 软的 绳索两端固定，绳索仅受重力作用 而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。,解,设绳索曲线的方程为 y=y(x) ,14,将两式相除得,又由弧长公式,15,令 ，代入方程（*）并分离变量得,所以，悬链线方程为,16,三 、 型的微分方程(不显含 x ),令,则,分离变量并积分，便得原方程的通解为,17,例 4 求微分方程 的通解.,解,代入原方程得,令,则,两端积分得,原方程的通解为,分离变量得：,两端积分得,显然, y=C 也在通解中.,18,练习：P366 1（5）(7)（10）,19,解（10） ：,20,小结：
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