专升本辅导-第7讲无穷级数.ppt

第7讲 无穷级数(2),台州职业技术学院数学教研室,（1）理解级数收敛、发散的概念和级数的基本性质.掌握级数收敛的必要条件. （2）熟记几何级数,复习要求数项级数,调和级数,与p-级数,的敛散性.会用正项级数的比较审敛法与比值审敛法判别正项级数的敛散性. （3）理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会用莱布尼茨(Leibnitz) 判别法判别交错级数的敛散性.,（4）理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念. 会求幂级数的收敛半径和收敛区间. （5）掌握幂级数的和、差、积的运算. （6）掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、和函数可以逐项求导及和函数可以逐项积分. （7）熟记ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（Maclaurin）级数，会将一些简单的初等函数展开为x-x0的幂级数.,复习要求幂级数,幂 级 数,一. 函数项级数,二. 幂级数及其敛散性,三. 幂级数的运算,1. 函数项级数的定义,设有一函数序列,为定义在区间 I 上的函数项级数.,一、函数项级数,可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,2. 函数项级数的敛散性,的收敛点 .,的发散点 .,它的收敛域, 记为 D .,它的发散域 .,3. 函数项级数的和函数,为函数项级数的和函数.,称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：,均可写出其部分和.,4. 函数项级数敛散性判别,可以适当地运用常数项级数的敛散性,判别法, 判别函数项级数的敛散性.,特别注意比较判别法的应用.,并求其收敛域.,即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.,的敛散性, 并求其收敛域.,这是等比级数.,故该级数的收敛域为:,形如,的级数称为幂级数, 其中,称为幂级数的系数.,1. 幂级数的定义,二. 幂级数及其敛散性,幂级数的一般形式为,当幂级数收敛时, 由,可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多项,式来近似它. 当 n 的值充分大时, 这种代替可达,到相当的精度.,2. 幂级数的敛散性,首先进行分析：,则由收敛的必要条件 , 有,而有极限的量必有界 , 故,它是收敛的,结论:,（,）,以上分析结论的图示:,（,）,不怎么样,则由上面的分析可知, 所有满足,这与假设矛盾. 该矛盾说明: 当,原级数发散 .,由以上的分析发现：,既有,收敛点, 又有发散点, 则从坐标原点开始沿数,轴往右(左)走, 最初只可能遇到它的收敛点 ,然后就会只遇到它的发散点, 这两部分的分界,是关于坐标原点对称的, 幂级数在分,界点处可能收敛, 也可能发散.,现将以上的分析用图表示出来.,（,）,幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间,内收敛, 在此区间外发散 , 在区间端,点处幂级数可能收敛 , 也可能发散 .,当幂级数仅在,阿贝尔定理,幂级数敛散性定理,都存在一个非负,幂级数的收敛半径,我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数,的收敛半径.,求收敛半径的定理,由比值判别法：,讨,论,要,故此时幂级数发散, 仅当,综上所述, 得:,谁的收敛半径？,由交错级数判别法, 可知此时级数收敛.,由级数收敛的必要条件, 可知,综上所述,这是一个缺项的幂级数, 不能直接运用求幂,级数收敛半径的计算公式. 今后遇到这类级数应,该按照函数项级数的情形处理, 通常是采用下列 方法,幂级数的运算,幂级数的四则运算,幂级数的解析运算,三. 幂级数的运算,幂级数的四则运算,设有两个幂级数,则有以下运算规则,1. 加、减法,2. 乘 法 ( 对角线法 ),就是说, 在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.,由收敛的必要条件知原级数发散.,无穷级数（4）,台州职业技术学院数学教研室,函数展开为幂级数,一、幂级数的解析运算,三、函数展开为幂级数,四、函数展开为幂级数应用举例,函数展开为幂级数,二、泰勒级数,一、幂级数的解析运算,1,幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的,在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.,幂级数的解析运算,2,幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性,在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然,幂级数也在其收敛区间内可积.,逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变.,解,符合积分要求了,等比级数,解,幂级数的解析运算,3,幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性,逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数,为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起,始值 .,解,由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得,练 习 题,练习题答案,在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项,积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级,数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连,续进行逐项求导和逐项积分.,就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具,有任意阶的导数及任意次的可积性.,幂级数的性质多好啊 ！,怎么做？,二、泰勒级数,任意一个函数能否在某一个区间内表示为,某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有,回忆泰勒中值定理的构建过程,按照上面的方法不断地做下去, 是否有下面的结论:,定理,由定理的条件可知,且其和函数,于是有,由数学归纳法, 得,定理和定义给我们提供了什么信息 ?,定义,定理和定义告诉我们：,处有任意阶导数, 则它,就有一个相应的泰勒级数存在.,但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛, 其和函数也不一定等于,问 题,回忆泰勒中值定理的构建过程,定理,证,推 论,证,（提示）,马克劳林级数,就可写出它的泰勒级数.,但它的泰勒级数不一,定收敛,只有当拉格朗日余项,时,