二重积分的计算（1）课件

,二重积分的计算,两类区域上二重积分的计算,一般区域上二重积分的计算,交换累次积分的次序,二、二重积分的一般变量代换,一、利用直角坐标系计算二重积分,三、利用极坐标系计算二重积分,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,X型,一、利用直角坐标系计算二重积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,解,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,二重积分的对称性质,结论1：如果积分区域D关于y轴对称，且,结论2：如果积分区域D关于x轴对称，且,则,则,结论3：如果积分区域D关于坐标原点O对称，则,其中,结论4：如果积分区域D关于直线yx对称，则,在第一象限部分, 则有,例. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,定积分换元法,二、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,则,定理:,变换:,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,例1. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,例2. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,例3. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,三、利用极坐标系计算二重积分,极坐标下的面积元素,注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：,二重积分化为二次积分的公式,区域特征如图,1. 原点在区域的外面,区域特征如图,区域特征如图,2. 原点在区域的边界上,极坐标系下区域的面积,区域特征如图,3. 原点在区域的内部,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),解,解,解,由上题结论,解,解,解,解,例8. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,Y型,X型,四、小结,思考题,思考题解答,则,1. 一般换元公式,且,则,2. 极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,小结:,3. 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1. 设,且,求,提示: