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向量在平面几何中解题的应用,余 姚 二 中,何金山,一、向量有关知识复习,（1）向量共线的充要条件:,与 共线,（2）向量垂直的充要条件：,（3）两向量相等充要条件：,且方向相同。,（4）平面向量基本定理,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例1、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,即 ，ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例3、已知：如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点,H,由此可设,利用ADBC，BECA，对应向量垂直。,解：设AD与BE交于H，,即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例4、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线,解：设,则,由此可得,即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线,四、应用向量知识证明等式、求值,例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积,分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,2),解得：e=5,故AEM的面积为10,四、应用向量知识证明等式、求值,例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求AEM的面积,解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,2),解得：e=5 即AE=5,四、应用向量知识证明等式、求值,练习：PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。,由PO=mOA, QO=nOB可知：,O分 的比为 ，O分 的比为,由此可设 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 ，得到 m n 的关系。,-m -n,? ?,四、应用向量知识证明等式、求值,练习：PQ过OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：,证：如图建立坐标系， 设,所以重心G的坐标为,求得,由向量 可
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