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文档简介

第六节 定积分的应用,利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决 ?,二 、如何应用定积分解决问题 ?,表示为,一、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,一个整体量 ;,二 、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 ),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,近似值,精确值,三、已知平行截面面积函数的 立体体积,第六节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积 .,解: 由,得交点,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例11. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例12. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,例13. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求
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