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毕业论文答辩稿各位老师，下午好！ 我叫沈瑶，是08级5班的学生，我的论文题目是：基于curvelet 的图像去噪研究,论文是在我的导师贺老师的悉心指点下完成的，在这里我向贺老师表示深深的谢意，也向各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢。下面我将本论文设计的目的和主要内容向各位老师作一汇报，恳请各位老师批评指导。 首先，我想谈谈这个毕业论文设计的目的及意义。相比小波变换，Curvelet 变换方向性更强，能更好地表示曲线奇异函数的异向性及图像的边缘信息，尤其是第二代曲波变换，它能够有效地保留图像边缘细节信息，避免图像产生模糊，需要的参数较少，实现简单而且便于理解。 其次，我想谈谈这篇论文的结构和主要内容。全文安排具体如下:第1章 主要介绍曲波去噪的发展历程和国内外研究现状。第2章 主要介绍连续曲波变换、离散曲波变换，并介绍了图像曲波变换原理，为下面章节中图像曲波去噪奠定理论基础。 第三章主要是对第二代曲波变换降噪算法的介绍即基于USFFT算法的二代曲波和基于Wrapping 算法的二代曲波以及基于Wrapping 算法的加强图像降噪法。第四章对第二代曲波去噪的几种方法进行实验仿真。实验中自选了一幅灰度Ella图像（尺寸为 512512 像素）作为去噪模型，加入均值为 0 的高斯白噪声，分别用基于wrapping算法的二代曲波(WFDCT)和加强型算法的二代曲波(WEFDCT)去噪，用峰值信噪比作为客观评价指标,然后对处理后的降噪图像进行分析和对比。第5章 是全文的总结和展望，概括了全文的研究内容和创新之处；针对论文不完善的地方，提出了一些意见和建议以供后续参考。1.1 曲波去噪的发展历程和国内外研究现状 近年来，小波变换在图像降噪领域获得了很大的发展， 由于其对一维信号能够高效地分析，而且在空域和频域具有局限性，在信号处理领域产生了巨大的影响。 但是它不能较好对含二维或高维的曲线奇异信息的处理。针对这个不足,在1999年，Donoho 等人提出了由脊波衍生而成的第一代曲波变换理论，在图像和信号处理领域得到了广泛的应用。曲波变换实际上就是是脊波的一种多级多尺度变换，先把图像分解成不同尺度的子带然后把子带进行不同大小的分块，分块后使它们的线条逼近于一条直线，最后对每个小块进行脊波变换。但是这种方法的效果并不好，不但过程比较复杂，与此同时还会带来很大的数据冗余。于是，Candes 等人又提出了一种快速离散曲波变换（FDCT），即第二代曲波变换。第二代曲波变换相比第一代曲波变换更加简单，也更加容易理解。第二代曲波变换能对图像进行多尺度分析，在图像处理方面有着重大的影响。相比传统的小波和纯阈值曲波降噪，适应性更广，在各种不同强度的噪声影响下也能表现出良好的性能。而且经过降噪后的图片视觉质量更好。本文基于第二代曲波变换提出了两种算法，即基于USFFT算法的二代曲波、基于Wrapping算法的二代曲波(WFDCT)降噪，而且在基于Wrapping算法的二代曲波(WFDCT)降噪的基础上提出了一种加强型算法（即加强型Wrapping算法的二代曲波(WFDCT)降噪），这两种算法去噪效果非常好，可以有效地保护图像边缘细节信息，避免出现图像模糊现象，同时该算法需要的参数较少，实现简单而且便于理解。实验结果表明，采用本文算法得到的图像峰值信噪比高，图片视觉质量很好。2.1 连续曲波变换 连续曲波变换和小波变换、脊波变换都包含在稀疏理论的范畴，它用基函数和信号的内积来实现信号的稀疏表示，下面为曲波变换的表达式：其中, j,l,k表示Curvelet函数，j,l,k是分别表示尺度，方向，位置参量。在频域内实现曲波变换，用窗函数U来实现。定义一对窗函数w(r), 径向窗函数和角度窗函数 V (t ), t 1,1满足下面的条件 在频域中，对于每一个jj0，定义频窗U j 如下， (3)式（3）中，是取的整数部分。 通过频率窗的傅里叶变换来定义曲波称为“母曲波”。 当尺度为时，旋转角度为：平移位置为 ( a) 曲渡频域 ( b ) 曲渡时域 图 1 二维曲波的时域和频域 其中，所有曲波由旋转和平移得到的。曲波系数是由一下内积定义的： （5）重建公式为：。曲波变换满足parseval关系：2.2 离散曲波变换以笛卡尔坐标系下的 f t1 , t 2 (0 t1 , t 2 n) 为输入，Curvelet变换的离散形式为 5采用一带通函数，定义，用此函数实现多尺度分割，对于每一个有： （8）其中是一个剪切矩阵，并非是等间距的，但其斜率是等间距的。图2为j=6，l=8时，离散曲波变换频率空间分块示意图：( a ) 离散 曲波频域 ( b ) 尺度为J的曲波频域 图 2 离散 曲波变换 水平和垂直坐标轴均为角频率，单位为离散弧度。定义：针对每一个，有，。同时，满足一下关系式： 3.1 基于USFFT算法曲波图像去噪基于USFFT算法的二代曲波图像去噪，充分地考虑到了变换系数之间的相关性，首先计算得到全局阈值，然后通过引入窗口技术，自适应地对中心像素进行萎缩处理得到相应的萎缩系数，进而得到处理后的变换系数。首先对图像进行二维Curvelet 变换，通过引入窗口技术对 Curvelet 变换系数进行自适应阈值处理，估计出萎缩因子，然后保留较大的 Curvelet 系数，去除较小的系数，对处理后的 Curvelet 系数做反变换得到去除噪声后的图像信号。该算法可以很好地解决抑制噪声与保护图像边缘细节信息的矛盾，避免出现图像模糊现象，同时需要的参数较少，实现简单并且具有较低的计算复杂度。实验结果表明，采用该算法降噪处理后的图像不会产生边缘扭曲和损失大量细节信息，而且在视觉效果上更加清晰，同时更好地保留了图像的高频细节信息。 Curvelet 变换中包含 Radon 变换，因此 Curvelet 变换系数具有相关性，本文采用窗口技术对图像进行划分，在每个窗口内部的变换系数之间存在相关性，采用自适应阈值处理方法对当前选定的 Curvelet 系数进行萎缩处理得到新的变换系数 。假设带噪声的图像信号表示为 xi , jf i , j i , j，其中， fi,j是原始图像信号， i,j 是服从N(0,1)分布的高斯白噪声 令 ci,j 表示xi,j 经 USFFT Curvelet 变换后的系数，选取一个以 ci,j 为中心的窗口 Wi,j， n， m 分别表示窗口的宽度与长度，本文算法可以按以下步骤实现：（1）对噪声图像 xi,j 进行二维 USFFT Curvelet 分解，得到分解系数 （6）（2）在Curvelet 域中计算全局阈值,（7）其中， 为高斯噪声方差；（3）对每一个 Curvelet 系数应用窗口 Wi,j，在每一个窗口内部计算，采用如下公式计算每块内的萎缩因子：（8）其中， sig(x)为符号函数并且满足如下关系： （9）（4）运用公式d i , j i , jdi , j 替换变换系数，然后对系数di,j 进行二维 USFFT Curvelet 反变换得到去除噪声后的图像信号。3.2 Wrapping 基本图像降噪法 基于 Wrapping 的快速离散曲波变换的实现算法，其核心思想是围绕原点 wrap，即在具体实现时，对任意区域采用周期化技术一一映射到原点的仿射区域，具体算法过程如下：(1) 在给定笛卡尔坐标下，对二维函数进行2DFFT （二维快速傅里叶）变换，得频域表达式为：fn1 , n2 , n /2 n1, n2 n/2 (2) 频域中，对于每一对( j,l) ，重采样 fn1 ,n2 ， 得到采样值： fn1, n2 n1 tanl , ( n1 , n2 ) Pj(3) 将内插后的 f 与窗函数U j 相乘，可得： f n1 , n2 = f n1, n2 n1 tanl U j n1 ,n2 (4) 围绕原点 Wrapping 局部化 fn1 ,n2 。 (5) 对 进行 2DIFFT 变换，由此可得，离散曲波系数集合c D ( j , l , k) 。 基于Wrapping算法的基本图像去噪实现步骤如下：设原始图像为 f (m, n) ，加入噪声的图像为 f (m, n)+ ，其中 是噪声强度， 为高斯白噪声，以下为算法步骤：(1) 先设置一个规范的矩阵 H(文中为 mn 的 全部元素为1的矩阵)，进行二维逆快速傅立叶变换和转换快速傅立叶变换，然后将其结果进行 wrapping 快速离散曲波变换，算出每个曲波角度的特定区域，获得曲波系数c D ( j , l , k) 。 然后对曲波系数多级分块，再经过菱形块阈值处理，除了最高尺度以外的所有尺度均设置硬阈值为3，得处理后的曲波系数 c D ( j , l , k) 对 c D ( j , l , k) 进行曲波逆变换，得到图像 f (m, n) 的估计值 f(m, n) ，即降噪后图像。虽然，此算法能有效地提高图像视觉质量以及客观评价指标PSNR 值。但是还存在两个问题：(1) 图像信息大部分包含在图像的边缘中，用曲波变换，设置一个合适的阈值，可降低图像噪声。但是无论采用硬阈值还是软阈值，因曲波变换过程中不具有平移不变性，对系数产生“过扼杀” ，导致图像边缘处出现“振铃”效应，即产生伪吉布斯现象。(2) 曲波变换“楔形基”的线性特点使变换系数之间具有一定的相关性，一旦系数改变就会引起空域中一条直线上所有值的改变，由此导致图像产生线状失真，即“划痕”失真。 34 Wrapping 加强图像降噪法 针对上述算法存在的两个问题，进行相关改进。(1) 采用对带噪图像进行基于蒙特卡洛方法的平移不变阈值降噪，结合循环平移以消除图像伪吉布斯现象；(2) 采用厄尔迭代运算，逼近目标图像，优化图像质量，以消除图像空间域的线状失真该算法的具体步骤如下： (1)对噪声图像二维逆快速傅立叶变换和转换快速傅立叶变换，然后正循环平移(平移范围取 0 1)。 (2) 经平移的信号通过曲波变换，得到不同尺度上的曲波系数 c D ( j , l , k) ；然后使用蒙特卡洛分析估计噪声方差，阈值比例系数在最粗和最细尺度上分别取2.2和2.5，分尺度处理曲波系数，得到逆曲波变换的系数 c D ( j , l , k) 。 (3)然后再对上面的逆曲波系数进行曲波变换，得到曲波临时重构系数 d D ( j , l , k) ；对此系数重复上述的阈值处理过程，得逆曲波变换的相应系数 D 。 d ( j , l , k) (4) 对式(2)、(3)中相关系数进行迭代运算和逆循环平移运算，最终合成重构图像，获得降噪后的图像。4.1 实验测试及结果分析 1.为了验证本文算法的有效性，实验采用灰度图像 Ella （尺寸大小为 5125128bit）作为测试图像，加入均值为 0 的高斯白噪声 ,对比了第二代曲波的几种去噪算法，分别用基于wrapping算法的二代曲波(WFDCT)和加强型算法的二代曲波(WEFDCT)去噪，然后把处理后的降噪图像进行分析和对比。 本文采用峰值信噪比(PSNR)作为衡量去噪效果的标准，计算公式如下：其中， x， xd 分别表示含噪图像和去噪图像实验结果给出了同一图像在不同去噪方法下的PSNR值。其客观评价标准即峰值信噪比PSNR值如表1所示：第二代曲波去噪 ORIGINAL NOISE USFFT WFDCT WEFDCTPSNRTime Elapsed 32.2670 20.8173 32.0874 32.1065 32.2131 18.062 10.422 51.281表1 第二代曲波降噪方法的恢复图像 PSNR 值 通过实验得出：由表1数据知，采用USFFT算法的二代曲波去噪后图像的峰值信噪比得到了很好的改善，采用WFDCT算法的二代曲波去噪效果也差不多，处理时间相对较快，尤其是通过蒙特卡洛阈值、循环平移、迭代运算的WEFDCT 算法处理，图像边缘信息得到很大的改善和保留，也降低了“划痕”失真。峰值信噪比评价指标得到很大的提高，是三者当中去噪效果最好的，可以看到很明显的图片去噪效果。但是它的运算处理时间却是最长的，大概是WFDCT算法的5倍。总结和展望作为一种新的多尺度几何分析工具，第2代曲波变换在图像处理领域有着广泛的应用前景。本文在图像降噪方面，在FDCT的基础上，使用两种算法去噪。然后在算法的基础上采用蒙特卡洛估计阈值、循环平移以及迭代算法一系列处理（即WEFDCT算法），加强了图像去噪的效果，更好地降低了曲波降噪导致的“划痕”图像失真，也较好地保留了图像的边缘信息。相对传统的小波和纯阈值曲波降噪方法而言，WEFDCT算法的适应性更广，在各种不同强度的噪声影响下也能表现出良好的性能。但是